Cómo demostrar que cada endomorfismo no Z de Z es inyectivo

Answer 1

Deje que [math] g (.) [/ Math] sea un endomorfismo [math] g: \ mathbb Z \ to \ mathbb Z [/ math]. Por supuesto [matemáticas] g (0) = 0 [/ matemáticas] como para cada endomorfismo. Si [matemáticas] g (1) = 0, g (n + 1) = g (n) + g (1) = g (n) [/ matemáticas] y por inducción [matemáticas] g (n) = 0 [/ matemáticas]. Además: [matemáticas] 0 = g (0) = g (nn) = g (n) + g (-n) = g (-n) [/ matemáticas]. Entonces [matemática] g (.) [/ Matemática] es el endomorfismo cero.

Demostremos que la identidad es el único endomorfismo en el anillo [math] \ mathbb Z [/ math] además del endomorfismo cero. Sea [math] g (1) \ not = 0 [/ math] y [math] n> 0 [/ math]. Entonces

[matemáticas] g (n) = \ underbrace {g (1) + g (1) + \ cdots + g (1)} _ {n \ text {times}} = n \ cdot g (1) \ land g ( n) = g (n \ cdot 1) = g (n) \ cdot g (1) [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow g (n) = n [/ math].

Similar para [matemáticas] g (-1) = – g (1) = – 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] n <0 [/ matemáticas]. qed

La identidad es claramente inyectiva.

Answer 2

Deje que [matemáticas] f [/ matemáticas] sea un endomorfismo.

Entonces: [matemáticas] \ forall (n, m) \ in \ Z ^ 2, f (m + n) = f (m) + f (n) [/ matemáticas]

Una inducción rápida te da:

[matemáticas] \ forall n \ in \ Z, f (n) = nf (1) [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemática] f (1) \ neq 0 [/ matemática] y [matemática] f [/ matemática] es de hecho inyectiva porque si [matemática] \ existe (n, m) \ in \ Z ^ 2, f (n) = f (m) [/ math] luego [math] n \ times f (1) = m \ times f (1) [/ math], por lo tanto [math] n = m [/ math].