Resolvamos este problema aplicando las reglas de diferenciación y con la ayuda de un CAS como Mathematica.
Las primeras (por ejemplo, [matemáticas] 15 [/ matemáticas]) derivadas de [matemáticas] x ^ 2 \ ln (3 x) [/ matemáticas] se pueden encontrar con Mathematica escribiendo:
Tabla [{n, D [x ^ 2 Log [3 x], {x, n}]}, {n, 1, 15}]
El resultado o resultado obtenido es:
{1, x + 2 x Log [3 x]}, {2, 3 + 2 Log [3 x]}, {3, 2 / x}, {4, – (2 / x ^ 2)},
{5, 4 / x ^ 3}, {6, – (12 / x ^ 4)}, {7, 48 / x ^ 5}, {8, – (240 / x ^ 6)}, {9, 1440 / x ^ 7},
{10, – (10080 / x ^ 8)}, {11, 80640 / x ^ 9}, {12, – (725760 / x ^ 10)},
{13, 7257600 / x ^ 11}, {14, – (79833600 / x ^ 12)}, {15, 958003200 / x ^ 13}
Comenzando con la tercera derivada de [math] x ^ 2 \ ln (3 x) [/ math], tenemos las derivadas sucesivas de [math] \ displaystyle \ frac {2} {x} [/ math].
Las primeras (por ejemplo, [matemáticas] 15 [/ matemáticas]) derivadas de [matemáticas] \ displaystyle \ frac {2} {x} [/ matemáticas] se pueden encontrar con Mathematica escribiendo:
Tabla [{n, D [2 / x, {x, n}]}, {n, 1, 15}]
El resultado o resultado obtenido es:
{1, – (2 / x ^ 2)}, {2, 4 / x ^ 3}, {3, – (12 / x ^ 4)}, {4, 48 / x ^ 5}, {5, – (240 / x ^ 6)}, {6, 1440 / x ^ 7},
{7, – (10080 / x ^ 8)}, {8, 80640 / x ^ 9}, {9, – (725760 / x ^ 10)}, {10, 7257600 / x ^ 11},
{11, – (79833600 / x ^ 12)}, {12, 958003200 / x ^ 13}, {13, – (12454041600 / x ^ 14)},
{14, 174356582400 / x ^ 15}, {15, – (2615348736000 / x ^ 16)}
La derivada [math] nth [/ math] de [math] \ displaystyle \ frac {2} {x} [/ math] viene dada por:
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ partial ^ n (\ frac {2} {x})} {\ partial x ^ n} = \ frac {2 (-1) ^ nn!} {x ^ {n + 1 }} [/matemáticas]
De los resultados anteriores se puede ver que la siguiente relación entre las derivadas de [matemáticas] x ^ 2 \ ln (3 x) [/ matemáticas] y [matemáticas] \ displaystyle \ frac {2} {x} [/ matemáticas] es válida :
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ partial ^ n \ left (x ^ 2 \ ln (3 x) \ right)} {\ partial x ^ n} = \ frac {\ partial ^ {n-3} (\ frac {2} {x})} {\ parcial x ^ {n-3}} [/ matemáticas]
La relación anterior se puede verificar con Mathematica escribiendo:
Tabla [D [x ^ 2 Log [3 x], {x, n}] == D [2 / x, {x, n – 3}], {n, 3, 20}]
que produce el resultado:
{True, True, True, True, True, True, True, True, True, True, True, \
Verdadero, Verdadero, Verdadero, Verdadero, Verdadero, Verdadero, Verdadero}
A partir de estas relaciones, la derivada [matemática] nth [/ math] de [math] x ^ 2 \ ln (3 x) [/ math] para [math] n [/ math] mayor que [math] 3 [/ math] puede ser deducido
Por lo tanto, derivar [matemáticas] x ^ 2 \ ln (3 x) [/ matemáticas] arroja los siguientes resultados:
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ partial \ left (x ^ 2 \ ln (3 x) \ right)} {\ partial x} = x (2 \ ln (3 x) +1) [/ math] para [ matemáticas] n = 1 [/ matemáticas].
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ partial ^ 2 \ left (x ^ 2 \ ln (3 x) \ right)} {\ partial x ^ 2} = 2 \ ln (3 x) +3 [/ math] para [matemáticas] n = 2 [/ matemáticas].
Y
[matemática] \ grande \ frac {\ parcial ^ n \ izquierda (x ^ 2 \ ln (3 x) \ derecha)} {\ parcial x ^ n} = \ frac {\ izquierda (2 (-1) ^ {n -3} (n-3)! \ Right)} {x ^ {n-2}} [/ math] para [math] n \ geq 3 [/ math].
Cabe señalar que las relaciones de diferenciación anteriores se aplican a las derivadas de [math] f (x) = x ^ 2 \ ln (ax) [/ math], donde [math] a [/ math] es cualquier constante arbitraria o número (verificado con Mathematica), es decir:
[math] \ displaystyle \ frac {\ partial \ left (f (x) \ right)} {\ partial x} = x (2 \ ln (ax) +1) [/ math] para [math] n = 1 [ /matemáticas] .
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ partial ^ 2 \ left (f (x) \ right)} {\ partial x ^ 2} = 2 \ ln (ax) +3 [/ math] para [math] n = 2 [/matemáticas] .
[matemáticas] \ large \ frac {\ partial ^ n \ left (f (x) \ right)} {\ partial x ^ n} = \ frac {\ left (2 (-1) ^ {n-3} (n -3)! \ Right)} {x ^ {n-2}} [/ math] para [math] n \ geq 3 [/ math].