¿Cuál es la enésima derivada de [matemáticas] x ^ 2 \ ln (3 x) [/ matemáticas]?

[matemática] 1 ^ {\ text {st}} [/ matemática] derivada: [matemática] \ displaystyle 2x \ ln (3x) + x [/ matemática]

[matemática] 2 ^ {\ text {nd}} [/ matemática] derivada: [matemática] \ displaystyle 2 \ ln (3x) + 3 [/ matemática]

[matemática] 3 ^ {\ text {rd}} [/ matemática] derivada: [matemática] \ displaystyle 2 x ^ {- 1} [/ matemática]

[matemática] k ^ {\ text {th}} [/ matemática] derivada de la [matemática] 3 ^ {\ text {rd}} [/ matemática] derivada: [matemática] \ dfrac {(- 1) ^ k 2 (k!)} {x ^ {k + 1}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ por lo tanto \ frac {d ^ n (x ^ 2 \ ln (3x))} {dx ^ n} = \ begin {cases} 2x \ ln (3x) + x \ text {, para} n = 1 \\ 2 \ ln (3x) + 3 \ text {, para} n = 2 \\ 2 x ^ {- 1} \ text {, para} n = 3 \\ \ dfrac {(- 1) ^ k 2 (k!)} {X ^ {k + 1}} \ text {, para} k = n – 3 \ text {y} n> 3 \\ \ end {cases} = \ begin {cases} 2x \ ln (3x) + x \ text {, para} n = 1 \\ 2 \ ln (3x) + 3 \ text {, para} n = 2 \\ \ dfrac {(- 1) ^ {n-3} 2 ( (n-3)!)} {x ^ {n-2}} \ text {, para} n \ geq 3 \\ \ end {cases} [/ math]

Resolvamos este problema aplicando las reglas de diferenciación y con la ayuda de un CAS como Mathematica.

Las primeras (por ejemplo, [matemáticas] 15 [/ matemáticas]) derivadas de [matemáticas] x ^ 2 \ ln (3 x) [/ matemáticas] se pueden encontrar con Mathematica escribiendo:

Tabla [{n, D [x ^ 2 Log [3 x], {x, n}]}, {n, 1, 15}]

El resultado o resultado obtenido es:

{1, x + 2 x Log [3 x]}, {2, 3 + 2 Log [3 x]}, {3, 2 / x}, {4, – (2 / x ^ 2)},
{5, 4 / x ^ 3}, {6, – (12 / x ^ 4)}, {7, 48 / x ^ 5}, {8, – (240 / x ^ 6)}, {9, 1440 / x ^ 7},
{10, – (10080 / x ^ 8)}, {11, 80640 / x ^ 9}, {12, – (725760 / x ^ 10)},
{13, 7257600 / x ^ 11}, {14, – (79833600 / x ^ 12)}, {15, 958003200 / x ^ 13}

Comenzando con la tercera derivada de [math] x ^ 2 \ ln (3 x) [/ math], tenemos las derivadas sucesivas de [math] \ displaystyle \ frac {2} {x} [/ math].

Las primeras (por ejemplo, [matemáticas] 15 [/ matemáticas]) derivadas de [matemáticas] \ displaystyle \ frac {2} {x} [/ matemáticas] se pueden encontrar con Mathematica escribiendo:

Tabla [{n, D [2 / x, {x, n}]}, {n, 1, 15}]

El resultado o resultado obtenido es:

{1, – (2 / x ^ 2)}, {2, 4 / x ^ 3}, {3, – (12 / x ^ 4)}, {4, 48 / x ^ 5}, {5, – (240 / x ^ 6)}, {6, 1440 / x ^ 7},
{7, – (10080 / x ^ 8)}, {8, 80640 / x ^ 9}, {9, – (725760 / x ^ 10)}, {10, 7257600 / x ^ 11},
{11, – (79833600 / x ^ 12)}, {12, 958003200 / x ^ 13}, {13, – (12454041600 / x ^ 14)},
{14, 174356582400 / x ^ 15}, {15, – (2615348736000 / x ^ 16)}

La derivada [math] nth [/ math] de [math] \ displaystyle \ frac {2} {x} [/ math] viene dada por:

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ partial ^ n (\ frac {2} {x})} {\ partial x ^ n} = \ frac {2 (-1) ^ nn!} {x ^ {n + 1 }} [/matemáticas]

De los resultados anteriores se puede ver que la siguiente relación entre las derivadas de [matemáticas] x ^ 2 \ ln (3 x) [/ matemáticas] y [matemáticas] \ displaystyle \ frac {2} {x} [/ matemáticas] es válida :

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ partial ^ n \ left (x ^ 2 \ ln (3 x) \ right)} {\ partial x ^ n} = \ frac {\ partial ^ {n-3} (\ frac {2} {x})} {\ parcial x ^ {n-3}} [/ matemáticas]

La relación anterior se puede verificar con Mathematica escribiendo:

Tabla [D [x ^ 2 Log [3 x], {x, n}] == D [2 / x, {x, n – 3}], {n, 3, 20}]

que produce el resultado:

{True, True, True, True, True, True, True, True, True, True, True, \
Verdadero, Verdadero, Verdadero, Verdadero, Verdadero, Verdadero, Verdadero}

A partir de estas relaciones, la derivada [matemática] nth [/ math] de [math] x ^ 2 \ ln (3 x) [/ math] para [math] n [/ math] mayor que [math] 3 [/ math] puede ser deducido

Por lo tanto, derivar [matemáticas] x ^ 2 \ ln (3 x) [/ matemáticas] arroja los siguientes resultados:

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ partial \ left (x ^ 2 \ ln (3 x) \ right)} {\ partial x} = x (2 \ ln (3 x) +1) [/ math] para [ matemáticas] n = 1 [/ matemáticas].

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ partial ^ 2 \ left (x ^ 2 \ ln (3 x) \ right)} {\ partial x ^ 2} = 2 \ ln (3 x) +3 [/ math] para [matemáticas] n = 2 [/ matemáticas].

Y

[matemática] \ grande \ frac {\ parcial ^ n \ izquierda (x ^ 2 \ ln (3 x) \ derecha)} {\ parcial x ^ n} = \ frac {\ izquierda (2 (-1) ^ {n -3} (n-3)! \ Right)} {x ^ {n-2}} [/ math] para [math] n \ geq 3 [/ math].

Cabe señalar que las relaciones de diferenciación anteriores se aplican a las derivadas de [math] f (x) = x ^ 2 \ ln (ax) [/ math], donde [math] a [/ math] es cualquier constante arbitraria o número (verificado con Mathematica), es decir:

[math] \ displaystyle \ frac {\ partial \ left (f (x) \ right)} {\ partial x} = x (2 \ ln (ax) +1) [/ math] para [math] n = 1 [ /matemáticas] .

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ partial ^ 2 \ left (f (x) \ right)} {\ partial x ^ 2} = 2 \ ln (ax) +3 [/ math] para [math] n = 2 [/matemáticas] .

[matemáticas] \ large \ frac {\ partial ^ n \ left (f (x) \ right)} {\ partial x ^ n} = \ frac {\ left (2 (-1) ^ {n-3} (n -3)! \ Right)} {x ^ {n-2}} [/ math] para [math] n \ geq 3 [/ math].

Para [matemáticas] n = 0 [/ matemáticas], [matemáticas] y = x ^ 2 \ ln {3x} [/ matemáticas].

Para [matemáticas] n = 1 [/ matemáticas], [matemáticas] \ frac {dy} {dx} = 2x \ ln {3x} + \ frac {1} {3} x [/ matemáticas].

Para [matemáticas] n = 2 [/ matemáticas], [matemáticas] \ frac {d ^ 2 y} {dx ^ 2} = 2 \ ln {3x} + 1L. [/ Matemáticas]

Para [matemáticas] n = 3 [/ matemáticas], [matemáticas] \ frac {d ^ 3 y} {dx ^ 3} = \ frac {2} {3x} [/ matemáticas].

y

[matemáticas] \ frac {d ^ ny} {dx ^ n} = (- 1) ^ {n-1} \ frac {2} {3} \ frac {1} {(n-3)!} \ frac { 1} {x ^ {n-2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ forall n \ ge 3 [/ matemáticas].