¿Cuáles deberían ser los valores de a, byc para [matemáticas] f_X (t) = \ begin {cases} en ^ 2 & \ quad \ text {if} t <0 \\ bt + c & \ quad \ text {if} 0 \ le t \ le 2 \\ 1 & \ quad \ text {$ t \ ge 2 $} \\\ end {cases} [/ math] ¿es un CDF?

Answer 1

Está tratando [math] f_X (t) [/ math] como una función de densidad y no como un CDF.

La definición de un CDF es [matemática] \ displaystyle F (x) = \ int _ {- \ infty} ^ xf (t) dt [/ math] donde F es el CDF yf es la función de densidad.

En su CDF, debemos tener [matemática] a = 0 [/ matemática] de lo contrario [matemática] f_X (t)> 1 [/ matemática] para [matemática] t <-1 [/ matemática]

Un CDF es generalmente continuo ya que la función de densidad es generalmente finita. (Hay algunas excepciones teóricas a esta regla, pero se pueden descontar a los efectos de esta pregunta).

Entonces, en [matemáticas] t = 0 [/ matemáticas], [matemáticas] b (0) + c = 0 \ implica c = 0 [/ matemáticas]

Y en [matemáticas] t = 2, [/ matemáticas] [matemáticas] 2b = 1 \ implica b = \ frac12 [/ matemáticas]

EDITAR: Se ha sugerido que [matemáticas] a = b = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] c = 1 [/ matemáticas] también podría ser un CDF (aunque el 2 en este caso sería irrelevante). Si ese fuera el caso, entonces el PDF sería una función Dirac Delta, que es la única forma en que podría producir una discontinuidad en un CDF.

Answer 2

Un CDF está (por supuesto) bien definido, lo que implica que [matemáticas] 2b + c = 1 [/ matemáticas].

(Observe que hay dos recetas para [matemáticas] t = 2 [/ matemáticas]. Deben ser consistentes).

Un CDF está aumentando, lo que implica que [math] b \ geq0 [/ math]

Un CDF solo toma valores en [matemática] [0,1] [/ matemática], lo que implica que [matemática] a = 0 [/ matemática] y [matemática] 0 \ leq c \ leq 1 [/ matemática].

Un CDF es continuo desde la derecha (no necesariamente desde la izquierda).

Esto no tiene consecuencias aquí. Pero si hay un error tipográfico y la función iguala [math] bt + 2 [/ math] en [math] [0,2) [/ math] en lugar de [math] [0,2] [/ math] entonces sería llevar a la conclusión de que [matemáticas] 2b + c = 1. [/ matemáticas]