¿Alguna vez has oído hablar de números sinuosos?
Es una idea muy genial. Supongamos que tengo un bucle en el avión y quiero saber cuántas veces da vueltas, por ejemplo, el origen.
(Si bien el ciclo dado se duplica sobre sí mismo en ciertos puntos, puede ver que al final del día gira alrededor del origen exactamente una vez, en sentido antihorario).
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Esto es fácil si su ciclo es, por ejemplo, circular. Pero si tienes un camino loco y complicado, esto puede ser difícil de ver. Sin embargo, resulta que hay una manera directa de dar sentido a estas cosas. Si su curva es [matemática] C [/ matemática], entonces todo lo que necesita hacer es calcular la integral
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {2 \ pi i} \ int_C \ frac {dz} {z} \ tag * {}. [/ math]
¡Se puede demostrar que es exactamente igual al número de bobinado! También nos permite probar algunas declaraciones matemáticas realmente bastante avanzadas. Por ejemplo, ahora mostraré que [matemáticas] 1 + 1 = 2 [/ matemáticas].
Lo lograremos reduciendo el lenguaje bastante complicado de la aritmética a algo más fácil de entender: a saber, caminos e integrales. Para hacer esto, necesitaremos alguna forma de agregar rutas. Afortunadamente, hay una manera razonablemente sencilla de hacer esto.
La idea es elegir un punto de partida para todos tus bucles. Luego, dados dos bucles [matemática] C_1 [/ matemática] y [matemática] C_2 [/ matemática], podemos definir un tercer bucle [matemática] C_3 [/ matemática] como el bucle realizado al viajar primero alrededor de [matemática] C_1 [ / math] y luego viajando por [math] C_2 [/ math]. Por supuesto, necesitamos especificar las ecuaciones paramétricas para estar realmente seguros de que esto está bien definido. Si [matemática] C_1 [/ matemática] viene dada por la ecuación paramétrica
[matemáticas] \ displaystyle p_1 (t) = \ left (x_1 (t), y_1 (t) \ right) \ tag * {}, [/ math]
y [matemática] C_2 [/ matemática] viene dada por la ecuación paramétrica
[matemáticas] \ displaystyle p_2 (t) = \ left (x_2 (t), y_2 (t) \ right) \ tag * {}, [/ math]
donde [matemática] t [/ matemática] va de [matemática] 0 [/ matemática] a [matemática] 1 [/ matemática], entonces [matemática] C_3 [/ matemática] tendrá la ecuación paramétrica
[matemáticas] \ displaystyle p_3 (t) = \ begin {cases} \ left (x_1 (2t), y_1 (2t) \ right) & \ text {if} 0 \ leq t <1/2 \\ \ left (x_2 (2t – 1), y_2 (2t – 1) \ right) & \ text {if} 1/2 \ leq t \ leq 1 \ end {cases} \ tag * {}. [/ Math]
Intuitivamente, esto es exactamente lo que queremos decir cuando decimos que [matemática] C_3 [/ matemática] va alrededor de [matemática] C_1 [/ matemática] y luego [matemática] C_2 [/ matemática].
Ahora, aquí está lo hermoso: si [math] C_1 [/ math] recorre el origen [math] m [/ math] veces en sentido antihorario, y [math] C_2 [/ math] recorre el origen [math] n [ / math] veces en sentido antihorario, luego [math] C_3 = C_1 + C_2 [/ math] recorre el origen [math] m + n [/ math] veces! Entonces, para calcular [matemática] 1 + 1 [/ matemática], todo lo que tenemos que hacer es elegir un bucle simple que rodee el origen una vez, calcular su suma consigo mismo y luego usar la fórmula integral para el número de devanado para obtener [matemáticas] 1 + 1 [/ matemáticas]. ¡Vamos a hacerlo!
Simplemente usaremos el círculo unitario [matemática] C [/ matemática] yendo alrededor del origen en sentido antihorario. Podemos escribir esta ruta paramétricamente como:
[matemáticas] \ displaystyle p (t) = e ^ {2 \ pi it} = \ left (\ cos (2 \ pi t), \ sin (2 \ pi t) \ right) \ tag * {}. [/ matemáticas]
(Estoy abusando de la notación aquí un poco e identificando puntos en el plano complejo con coordenadas [matemáticas] (x, y) [/ matemáticas]).
Ahora, ¿qué es [matemáticas] C + C [/ matemáticas]? Bueno, según nuestras coordenadas paramétricas, esto será dado por
[matemáticas] \ begin {align *} q (t) & = \ begin {cases} \ left (\ cos (4 \ pi t), \ sin (4 \ pi t) \ right) & \ text {if} 0 \ leq t <1/2 \\ \ left (\ cos (4 \ pi t – 2 \ pi), \ sin (4 \ pi t – 2 \ pi) \ right) & \ text {if} 1/2 \ leq t \ leq 1 \ end {cases} \\ & = \ left (\ cos (4 \ pi t), \ sin (4 \ pi t) \ right) \\ & = e ^ {4 \ pi it} \ end {align *} \ tag * {}, [/ math]
donde la línea media se sigue de las identidades trigonométricas básicas. Ahora, solo queda calcular
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {2 \ pi i} \ int_ {C + C} \ frac {dz} {z} \ tag * {}. [/ matemáticas]
Para hacer esto, usamos la sustitución en U
[matemáticas] \ begin {align *} z & = e ^ {4 \ pi it} \\ dz & = 4 \ pi ie ^ {4 \ pi it} dt \ end {align *} \ tag * {}, [ /matemáticas]
flexible
[matemáticas] \ begin {align *} \ frac {1} {2 \ pi i} \ int_ {C + C} \ frac {dz} {z} & = \ frac {1} {2 \ pi i} \ int_0 ^ 1 \ frac {4 \ pi ie ^ {4 \ pi it}} {e ^ {4 \ pi it}} dt \\ & = \ frac {1} {2 \ pi i} \ int_0 ^ 1 4 \ pi i \ dt \\ & = \ frac {1} {2 \ pi i} \ left (\ left.4 \ pi it \ right | _ {t = 0} ^ {t = 1} \ right) \\ & = \ frac {4 \ pi i} {2 \ pi i} \\ & = 2 \ end {align *}. \ tag * {} [/ math]
¡Hemos terminado!