Debo ser un poco pedante aquí. [matemática] x ^ a [/ matemática] no significa que multiplique [matemática] x [/ matemática] por sí misma [matemática] a [/ matemática] veces. Por ejemplo, en la expresión [matemática] x ^ 2 [/ matemática] estás multiplicando [matemática] x [/ matemática] por sí sola una vez. En la expresión [matemáticas] x ^ 1 [/ matemáticas] no estás multiplicando [matemáticas] x [/ matemáticas] por sí solo.
Sin embargo, sé a qué te refieres. Quiere decir que hay [math] a [/ math] multiplicands que son todos iguales [math] x [/ math].
O como me gusta decirlo, [matemáticas] x ^ a [/ matemáticas] significa que comenzamos con [matemáticas] 1 [/ matemáticas] y luego multiplicamos por [matemáticas] x [/ matemáticas], [matemáticas] a [/ matemáticas ] veces.
Ahora : ¿dónde estábamos?
¿Nadie te dijo alguna vez que puedes hacer algo [matemáticas] -1 [/ matemáticas] vez? Simplemente significa que haces lo contrario de esa cosa. Por ejemplo, puedo dar un paso a la izquierda [matemáticas] -1 [/ matemáticas] tiempo; solo significa que paso bien. Incluso puedo tomar [matemáticas] -100 [/ matemáticas] pasos a la izquierda si hay suficiente espacio a mi derecha.
Puedo ponerme los calcetines [math] -1 [/ math] time, pero solo si ya tengo los calcetines puestos.
Sin embargo, hay límites. No puedo comer un hot dog [math] -1 [/ math] vez, incluso si acabo de comer un hot dog. Sé lo que probablemente estés pensando, pero no dejaría las cosas como estaban antes de que me comiera el hot dog. Comer un hot dog no es una acción invertible (es decir, reversible) porque no hay nada que pueda hacer para que un hot dog comido no se coma.
En un sentido similar, multiplicar por [matemáticas] 0 [/ matemáticas] no es invertible. En lo que respecta a la multiplicación, un número distinto de cero, como [math] 1 [/ math], es como un hot dog sin comer y [math] 0 [/ math] es como un hot dog comido: tenemos un camino por recorrer desde [ matemática] 1 [/ matemática] a [matemática] 0 [/ matemática] pero ninguna multiplicación nos llevará de [matemática] 0 [/ matemática] a [matemática] 1 [/ matemática].
También es como ver esa foto de Goatse, o un video de alguien asesinado. No puedes hacer eso negativo una vez.
Algunos de nosotros hemos dicho cosas a las personas cercanas a nosotros que con gusto haríamos [matemáticas] -1 [/ matemáticas] veces si pudiéramos.
Un punto ligeramente más sutil: cortar un polígono en piezas triangulares no es una acción invertible, sino por una razón diferente. Puede volver a ensamblarlos en diferentes polígonos, y cualquiera de estos polígonos podría haberse cortado para producir el mismo resultado.
O mejor aún, si como una hamburguesa con lechuga en la parte superior versus una hamburguesa con lechuga en la parte inferior, el resultado será esencialmente el mismo. Por lo tanto, incluso si puedo revertir el acto de comer la hamburguesa de alguna manera, la inversión no estará bien definida porque no sé si volveré a la hamburguesa con la lechuga encima o la lechuga en el fondo.
Esta es también la razón por la que no podemos dividir [matemáticas] 0 [/ matemáticas] entre [matemáticas] 0 [/ matemáticas] o hablar de [matemáticas] 0 ^ 0 [/ matemáticas] de una manera significativa. Podemos pasar de cualquier número a [math] 0 [/ math] si lo multiplicamos por [math] 0 [/ math], por lo que no se puede revertir el acto de multiplicar por [math] 0 [/ math] en un forma bien definida: hay demasiados números a los que podríamos volver potencialmente.
Pero para números que no sean [matemática] 0 [/ matemática], multiplicar por él [matemática] -a [/ matemática] veces es sencillo: simplemente multiplique por sus recíprocos [matemática] a [/ matemática] veces.
Por supuesto, ahora me preguntarás qué significa [matemática] x ^ a [/ matemática] si [matemática] a [/ matemática] es una fracción.
Oh, crees que me tienes, ¿no?
Aunque puede parecer una tontería hacer algo la mitad de las veces, es bastante razonable siempre que tengamos claro lo que queremos decir con eso. En general, hacer alguna acción [matemática] A [/ matemática], [matemática] \ frac {1} {2} [/ matemática] tiempo, solo significa que estamos haciendo una acción [matemática] B [/ matemática] de tal manera que hacer [matemáticas] B [/ matemáticas] dos veces sería equivalente a hacer [matemáticas] A [/ matemáticas] una vez.
¿Cómo rotar una imagen 180 °, [matemáticas] \ frac {1} {2} [/ matemáticas] tiempo? Rótelo 90 °.
Digamos que eres un gusano extremadamente fuerte en el fondo del pozo en este viejo castaño, y cualquier acto de escalada debe incluir descansar lo suficiente como para deslizarse hacia abajo 2 pies. ¿Cómo salir del pozo [matemáticas] \ frac {1} {2} [/ math] hora? ¡Sube 51 pies!
Podemos definir hacer una acción [math] \ frac {m} {n} [/ math] veces de manera similar para casi cualquier fracción.
¿Qué pasa si [matemáticas] a [/ matemáticas] es irracional? Eso está bien, siempre y cuando estés de acuerdo en hablar sobre una secuencia infinita de números racionales que converja a [matemáticas] a [/ matemáticas]. Por ejemplo, hacer una acción [matemáticas] 3.14 [/ matemáticas] veces está cerca de hacerlo [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] veces, pero hacerlo [matemáticas] 3.141 [/ matemáticas] está más cerca, hacerlo [matemáticas ] 3.1415 [/ math] veces está más cerca todavía, y así sucesivamente.
En general, podemos decir que si [math] x [/ math] es positivo, entonces [math] a [/ math] puede ser cualquier número real y podemos decir que [math] x ^ a [/ math] es el resultado de comenzar con [matemáticas] 1 [/ matemáticas] y multiplicar por [matemáticas] x [/ matemáticas], [matemáticas] a [/ matemáticas] veces. Solo tenemos que tener claro lo que eso significa. (De hecho, también podemos hacer que funcione para valores negativos de [matemáticas] x [/ matemáticas], siempre que tengamos una definición útil de lo que significa multiplicar por un número negativo). Sin embargo, ser claro es bueno.