¿Cómo puede el Pr (X = 10) = Pr (X = 9) si X = cantidad de goles al lanzar una pelota de baloncesto 10 (= n) veces en la vida real?

Answer 1

En primer lugar, esta no es una situación de la vida real. Lo más probable es que se trate de una tarea que se diseña principalmente para su facilidad de cálculo en lugar de la precisión. Si quisieras producir un modelo preciso, necesitarías algún factor para la habilidad de los jugadores, un modelo verdaderamente preciso podría tener una probabilidad menor para la primera bola a medida que el jugador mira, luego aumenta y tal vez disminuya más tarde debido a la fatiga.

El modelo más común para tal situación sería una distribución binomial que tiene una probabilidad fija de cada disparo. Digamos que si la probabilidad de recibir un disparo fue p = 0.9, entonces la probabilidad de obtener k disparos fuera de 10 será

[matemáticas] \ Pr (X = k) = {\ binom {10} {k}} p ^ {k} (1-p) ^ {10-k} [/ matemáticas]

Calculando estos para p = 0.9 obtenemos Pr (X = 9) = 0.387, Pr (X = 10) = 0.349. Entonces Pr (X = 10) <Pr (X = 9).

Ahora considere el caso de P = 1.0 para el jugador de baloncesto perfecto. Siempre obtendrán 10 canastas y nunca obtendrán solo 9 canastas. Entonces Pr (X = 10) = 1> Pr (X = 9) = 0. Esto significa que debe existir una solución para algún valor de p (por el teorema del valor intermedio).

Podemos calcular el valor real. Nota [matemática] \ binom {10} {10} = 1 [/ matemática] y [matemática] \ binom {10} {9} = 10 [/ matemática]. Entonces [matemáticas] Pr (X = 10) = p ^ {10} [/ matemáticas] y [matemáticas] Pr (X = 9) = 10 * p ^ 9 (1-p) [/ matemáticas]. Establecer estos iguales

[matemáticas] p ^ {10} = 10 p ^ 9 (1-p) [/ matemáticas]

dividir entre [matemáticas] p ^ 9 [/ matemáticas]

[matemáticas] p = 10 (1 – p) [/ matemáticas]

[matemáticas] 11 p = 10 [/ matemáticas]

entonces p = 10/11 = 0.90909 … dará la solución. Con [matemáticas] Pr (X = 9) = Pr (X = 10) = 0.386 [/ matemáticas].

Answer 2

La única información faltante sobre el escenario es la probabilidad de marcar un gol, por lo que debemos encontrarlo.

Deje que la probabilidad de que marque un gol sea [matemática] p [/ matemática]. Sabemos que [math] \ text {Pr} (X = 10) = p ^ {10} [/ math] porque solo hay un orden posible y tenemos que anotar 10 veces seguidas. Del mismo modo, [math] \ text {Pr} (X = 9) = \ binom {10} {1} p ^ 9 (1-p) = 10p ^ 9-10p ^ {10} [/ math] ya que debemos elegir un tiro para fallar con 10 elegir 1 formas. Estos son iguales, entonces tenemos de [matemáticas] \ text {Pr} (X = 9) = \ text {Pr} (X = 10) [/ matemáticas] que

[matemáticas] \ displaystyle 11p ^ {10} = 10p ^ 9 \ Rightarrow 11p = 10 \ Rightarrow p = \ frac {10} {11}. [/ math]

Answer 3

¿Por qué no deberían ser iguales?

Por ejemplo, podría ser el caso (para un jugador muy bueno) que la probabilidad de marcar 9 goles sea del 50%, marcar 10 goles es del 50% y cualquier otro puntaje sea del 0%.

Quizás esté intentando ajustar una distribución matemática particular a este problema (como el Binomial o el Poisson). Si es así, es posible que no pueda igualar las probabilidades. Si eso es lo que quiere decir, puede especificar la pregunta con mayor precisión.