Dejar
[matemáticas] I = \ displaystyle \ int _ {- \ frac {\ pi} {2}} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ dfrac {1} {2007 ^ x + 1} \ cdot \ dfrac { \ sin ^ {2008} x} {\ sin ^ {2008} x + \ cos ^ {2008} x} \, dx \ tag {1} [/ math]
Usando la propiedad
[matemáticas] \ displaystyle \ int_ {a} ^ {b} f (x) \, dx = \ int_ {a} ^ {b} f (a + bx) \, dx \ tag {*} [/ matemáticas]
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tenemos
[matemáticas] I = \ displaystyle \ int _ {- \ frac {\ pi} {2}} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ dfrac {2007 ^ x} {2007 ^ x + 1} \ cdot \ dfrac {\ sin ^ {2008} x} {\ sin ^ {2008} x + \ cos ^ {2008} x} \, dx \ tag {2} [/ math]
Agregar [matemáticas] (1) [/ matemáticas] y [matemáticas] (2) [/ matemáticas]
[matemáticas] 2I = \ displaystyle \ int _ {- \ frac {\ pi} {2}} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ dfrac {\ sin ^ {2008} x} {\ sin ^ {2008 } x + \ cos ^ {2008} x} \, dx [/ math]
Suponer que
[matemáticas] f (x) = \ dfrac {\ sin ^ {2008} x} {\ sin ^ {2008} x + \ cos ^ {2008} x} \ tag {3} [/ matemáticas]
Ahora, [matemáticas] f (-x) = \ dfrac {\ sin ^ {2008} x} {\ sin ^ {2008} x + \ cos ^ {2008} x} = f (x) [/ matemáticas]
lo que significa que [math] f (x) [/ math] es par.
Entonces
[matemáticas] 2I = \ displaystyle \ int _ {- \ frac {\ pi} {2}} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ dfrac {\ sin ^ {2008} x} {\ sin ^ {2008 } x + \ cos ^ {2008} x} \, dx [/ math]
[matemáticas] \ implica I = \ dfrac {1} {2} \ displaystyle \ int _ {- \ frac {\ pi} {2}} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ dfrac {\ sin ^ { 2008} x} {\ sin ^ {2008} x + \ cos ^ {2008} x} \, dx [/ math]
[matemáticas] \ implica I = 2 \ veces \ dfrac {1} {2} \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ dfrac {\ sin ^ {2008} x} {\ sin ^ {2008} x + \ cos ^ {2008} x} \, dx [/ math], [Usando simetría]
[matemáticas] \ implica I = \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ dfrac {\ sin ^ {2008} x} {\ sin ^ {2008} x + \ cos ^ {2008 } x} \, dx \ tag {4} [/ math]
Ahora deje que [math] x = \ dfrac {\ pi} {2} -y \ implica dx = -dy [/ math]
Y [matemáticas] x = 0 \ implica y = \ dfrac {\ pi} {2}, x = \ dfrac {\ pi} {2} \ implica y = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] I = \ displaystyle \ int _ {\ frac {\ pi} {2}} ^ {0} \ dfrac {\ sin ^ {2008} \ left (\ dfrac {\ pi} {2} -y \ right) } {\ sin ^ {2008} \ left (\ dfrac {\ pi} {2} -y \ right) + \ cos ^ {2008} \ left (\ dfrac {\ pi} {2} -y \ right)} \, (- dy) [/ math]
Ahora usando la propiedad que
[matemáticas] \ displaystyle \ int_ {a} ^ {b} f (x) \, dx = – \ int_ {b} ^ {a} f (x) \, dx \ tag {**} [/ matemáticas]
[matemáticas] I = \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ dfrac {\ cos ^ {2008} y} {\ sin ^ {2008} y + \ cos ^ {2008} y } \, dy [/ math]
[matemáticas] \ implica I = \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ dfrac {\ cos ^ {2008} x} {\ sin ^ {2008} x + \ cos ^ {2008 } x} \, dx \ tag {5} [/ math]
Agregar [matemáticas] (4) [/ matemáticas] y [matemáticas] (5) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle 2I = \ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \, dx [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica 2I = \ dfrac {\ pi} {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica I = \ dfrac {\ pi} {4} [/ matemáticas]
Por lo tanto
[matemáticas] \ displaystyle \ int _ {- \ frac {\ pi} {2}} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ dfrac {1} {2007 ^ x + 1} \ cdot \ dfrac {\ sin ^ {2008} x} {\ sin ^ {2008} x + \ cos ^ {2008} x} \, dx = \ boxed {\ dfrac {\ pi} {4}} \ tag {6} [/ math]
Goodie, lo tengo 🙂
Siempre es bueno pelear con integrales, me siento aún mejor cuando gano