Si [matemática] f (x) = a ^ xx ^ a [/ matemática] y [matemática] g (x) = x ^ x [/ matemática] para [matemática] x> 0 [/ matemática] y a es un número grande . ¿Cómo examino si [math] f (x)> g (x) [/ math] u opuesto?

Answer 1

Hay varias formas

La primera forma es tomar la diferencia y buscar ceros. Si no hay ceros, entonces [matemática] f (x)> g (x) [/ matemática] o [matemática] f (x) 0 [/ math], y simplemente puede insertar un valor (por ejemplo, [math] f (1) = a, g (1) = 1 [/ math], y ver cuál es más grande.

Así que veamos [matemáticas] h (x) = f (x) – g (x) = a ^ xx ^ a – x ^ x [/ matemáticas] y veamos si tiene ceros. Parece un problema para resolver, por lo que podemos verificar si aumenta o disminuye mirando la derivada: [matemáticas] h ‘(x) = \ ln aa ^ xx ^ a + (a-1) a ^ xx ^ {a-1} – (1+ \ ln x) x ^ x = a ^ xx ^ {a-1} (x \ ln a + a -1) – (1+ \ ln x) x ^ x [/ math ] que no necesariamente ayuda mucho. Se podría necesitar un enfoque diferente.

Intentemos mirar el cociente, [matemáticas] h (x) = \ frac {f (x)} {g (x)} = \ frac {a ^ xx ^ a} {x ^ x} = a ^ xx ^ { hacha} [/ math]. Dependiendo de cuál sea mayor, el valor de [matemáticas] h (x) [/ matemáticas] será superior o inferior a 1. Dado que ambas [matemáticas] f (x), g (x)> 0, h (x)> 0 [/ math], y podemos tomar el logaritmo para ayudar a simplificar las cosas. Obtenemos [matemáticas] \ ln h (x) = \ ln a ^ xx ^ {ax} = \ ln a ^ x + \ ln x ^ {ax} = x \ ln a + (ax) \ ln x = x \ En a + a \ ln x – x \ ln x [/ math].

Esto, al menos, parece más fácil de tratar. Queremos ver si, y dónde, [matemáticas] \ ln h (x) [/ matemáticas] es negativo. Es la suma de tres cosas, una línea, [matemática] x \ ln a [/ matemática], una curva logarítmica, [matemática] a \ ln x [/ matemática], y un producto de una línea y una curva logarítmica [matemática] ] -x \ ln x [/ math]. Si tomamos la derivada, [math] \ frac {d \ ln h (x)} {dx} = a / x + \ ln a – (x / x + \ ln x) = (\ ln a – \ ln x ) + a / x – 1 = \ ln (a / x) + a / x – 1 [/ math], que por inspección es 0 en [math] x = a [/ math], y con un poco más de información (observando que si [matemática] a <x [/ matemática] entonces [matemática] a / x <1, ln (a \ x) a, \ frac {d \ ln h (x)} {dx} <0 [/ math], entonces el log de la razón tiene un máximo en [math] x = a [/ math], entonces la razón tiene un máximo en [math] x = a [/ math], y disminuye para mayor [math] x [/ math].

En [matemáticas] x = a [/ matemáticas], tienes [matemáticas] f (a) = a ^ aa ^ a = a ^ {2a}> a ^ a = g (a), h (a) = a ^ a [/ matemáticas]. Pero en [matemáticas] x = a ^ 2 [/ matemáticas], tienes f (a ^ 2) = (a ^ 2) ^ a (a ^ 2) ^ {a} = a ^ {a (a + 2) }, g (a ^ 2) = (a ^ 2) ^ (a ^ 2) = a ^ {2a ^ 2}, h (a ^ 2) = \ frac {a ^ {a ^ 2 + 2a}} { a ^ {2a ^ 2}} = a ^ {2a-a ^ 2} 2 [/ math].

Entonces, en algún lugar entre [matemática] a <x f (x) [/ math], y viceversa.

Espero que esto ayude.

Answer 2

[matemáticas] f (x) = a ^ xx ^ a [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ ln f (x) = x \ ln a + a \ ln x [/ matemáticas]

[matemáticas] g (x) = x ^ x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ ln g (x) = x \ ln x [/ matemáticas]

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“[Matemáticas] x> 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] a [/ matemáticas] es un gran número” – de la pregunta. Esto significa que [matemática] x [/ matemática] es solo un número positivo, no necesariamente grande [matemática], a> 0 [/ matemática] y [matemática] a> x [/ matemática], los números negativos no tienen logaritmos.

como [math] a \ to \ infty [/ math], tenemos [math] \ ln a \ to \ infty [/ math], ya que la función [math] h (x) = \ ln x [/ math] es aumentando monotónicamente en [matemáticas] (0, \ infty) [/ matemáticas]

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Suponga que [matemáticas] x = 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] a = 4 [/ matemáticas], entonces

[matemáticas] x \ ln a = 2 \ ln 4 = 4 \ ln 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] a \ ln x = 4 \ ln 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] x \ ln x = 2 \ ln 2 [/ matemáticas]

[Los números fueron elegidos a ciegas, ni siquiera puedo decir cómo los elegí]

Entonces podemos escribir [math] \ ln f (x) – \ ln g (x) = 6 \ ln 2> 0 [/ math]

[matemáticas] \ implica \ ln f (x)> \ ln g (x) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica f (x)> g (x) [/ matemáticas]

Los números que elegí anteriormente ya no me parecen en blanco, porque ahora recuerdo que para [matemáticas] 0

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Ahora, supongamos que [matemática] x = \ dfrac {1} {2} [/ matemática] y [matemática] a = 4 [/ matemática], para nuestra conveniencia. Entonces

[matemáticas] x \ ln a = \ dfrac {1} {2} \ ln 4 = 2 \ ln 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] a \ ln x = 4 \ ln \ dfrac {1} {2} = – 4 \ ln 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] x \ ln x = \ dfrac {1} {2} \ ln \ dfrac {1} {2} = – \ dfrac {1} {2} \ ln 2 [/ matemáticas]

Podemos escribir [matemáticas] f (x) – g (x) = 2 \ ln 2 – 4 \ ln 2 + \ dfrac {1} {2} \ ln 2 = – \ dfrac {3} {2} \ ln 2 <0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica f (x)

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Conclusión::

[matemáticas] x> 1, a> x; \ implica f (x)> g (x) [/ math]

[matemáticas] 0 x; \ implica f (x)

Las correcciones son bienvenidas, ya que respondí esto solo pensando y jugando con valores logarítmicos de ciertos números reales.

Answer 3

Por grande que sea [matemática] a [/ matemática], [matemática] a [/ matemática] sigue siendo un número fijo. Podemos predecir que [matemática] g (x) [/ matemática] es más grande que [matemática] f (x) [/ matemática], una vez que [matemática] x [/ matemática] es lo suficientemente grande.

Como usted dice que [matemáticas] a [/ matemáticas] es grande, podría suponer que [matemáticas] a> 1 [/ matemáticas]. Podemos probar que [math] g (x)> f (x) [/ math] verificando que [math] \ log g (x) – \ log f (x)> 0 [/ math], lo que implica [math ] g (x)> f (x) [/ math] ya que la función logarítmica aumenta estrictamente para todos [math] x [/ math].

De hecho, tenemos [math] \ log g (x) – \ log f (x) = x \ log x -x \ log a -a \ log x [/ math]. Puedo reescribir la última expresión como la suma de [math] \ frac {1} {2} x \ log x -x \ log a [/ math] y [math] \ frac {1} {2} x \ log x -a \ log x [/ math], que puede reescribirse como [math] x (\ frac {1} {2} \ log x – \ log a) [/ math] y [math] (\ frac {1} {2} x -1) \ log x [/ math], respectivamente.

[math] x (\ frac {1} {2} \ log x – \ log a) [/ math] es positivo si solo [math] x> a ^ 2 [/ math] y [math] (\ frac { 1} {2} x -1) \ log x [/ math] es positivo si solo [math] x> 2a [/ math] [math]. [/ Math] Dijiste que a es grande, podemos suponer que [math] a> 2 [/ matemática], por lo tanto [matemática] a ^ 2> 2 a [/ matemática]. Concluimos si [math] x> a ^ 2 [/ math], entonces ambas expresiones que discutimos anteriormente son positivas, lo que implica [math] g (x)> f (x) [/ math] para [math] x> a ^ 2 [/ matemáticas].

Answer 4

Para cualquier [matemática] a [/ matemática] finita, siempre habrá un valor de [matemática] x [/ matemática] para el cual [matemática] g (x)> f (x) [/ matemática]. Esta [matemática] x [/ matemática] será mayor que [matemática] a [/ matemática], pero siempre podemos encontrar tal [matemática] a [/ matemática]. Sin embargo, también habrá puntos para los que [matemáticas] f (x)> g (x) [/ matemáticas]. Por ejemplo, [matemáticas] x = a [/ matemáticas] será tal punto.