Sea f (x) = (1 + b ^ 2) x ^ 2 + 2bx + 1 y sea m (b) el valor mínimo de f (x). Como b varía, el rango de m (b) es? ¿Alguien me dirá cómo resolver esas preguntas?

Answer 1

Esta es una pregunta muy simple y, como lo sugiere Dharin Shah, primero pruébelo usted mismo antes de ver esta solución.

Ahora, aquí f (x) = (1 + b ^ 2) x ^ 2 + 2bx + 1

Reordenando los términos, f (x) = x ^ 2 + (bx) ^ 2 + 2bx + 1

=> f (x) = x ^ 2 + (bx + 1) ^ 2

Para que esta función tome el valor mínimo, la primera derivada debe ser cero y la segunda derivada debe ser positiva.

df (x) / dx = 2x + (2b ^ 2) x + 2b

Si df (x) / dx = 0, Resolviendo para x, obtenemos

x = -b / (1 + b ^ 2)

También la segunda derivada resulta ser positiva independiente de x. Entonces esta función solo tiene mínimos.

Ahora este valor mínimo m (b) = f (x) en x = -b / (1 + b ^ 2)

=> m (b) = [b ^ 2 / (1 + b ^ 2) ^ 2] + [1 + b * {-b / (1 + b ^ 2)}] ^ 2

=> m (b) = [b ^ 2 / (1 + b ^ 2) ^ 2] + [(1+ b ^ 2 -b ^ 2) / (1 + b ^ 2)] ^ 2

=> m (b) = [b ^ 2 / (1 + b ^ 2) ^ 2] + [1 / (1 + b ^ 2) ^ 2]

=> m (b) = 1 / (1 + b ^ 2)

La variación de los mínimos de la función con b variable es como

Tiene un valor máximo en b = 1 y disminuye con una tasa cuadrática casi inversa a cero.

Answer 2

Por darle un breve resumen,

Al dar esta imagen como referencia en el punto ‘A’ y ‘B’, la pendiente de la función es cero.

Entonces, el punto de valor máximo y mínimo depende de cómo está cambiando la pendiente.

Para el valor máximo, la pendiente de una función está cambiando de + ve a –ve (es decir, en el punto ‘A’)

Para el valor mínimo, la pendiente de una función está cambiando de –ve a + ve (es decir, en el punto ‘B’)

Para el cálculo, la parte f ‘(x) = 0 solo nos da el valor de la x donde la pendiente es cero, pero nuestra preocupación real es encontrar el punto donde f (x) tiene el valor mínimo, que solo se resuelve descubriendo La tasa de cambio de pendiente.

Cuando decimos que la pendiente aumenta, significa que la tasa de cambio de pendiente aumenta.

Y la tasa de cambio de pendiente no es más que el valor de f ” (x).

Entonces, si f ” (x)> 0 significa que en el punto xf (x) tiene un valor mínimo.

Creo que es más que suficiente breve breve … broma … 🙂

Avanzando hacia la parte de la solución,

Primero, descubriendo el punto donde la pendiente de la función es cero,

Entonces, f ‘(x) = 0

2 x (1+ b 2) +2 b = 0

x = -b / (1 + b2)

Ahora, encuentre f ” (x) y verifique si es mayor que cero o no, si es mayor que cero que en x = -b / (1 + b2) la función tiene un valor mínimo.

Entonces,

f ” (x) = 2 (1 + b2)> 0

entonces, f (x) mantiene el valor mínimo en x = -b / (1 + b2)

ahora, avanzando hacia el valor de la función en x = -b / (1 + b2)

f (-b / (1 + b2)) = 1 / (1 + b2) = m (b)

Entonces, para cualquier valor de b, el valor de m (b) solo varía entre 0 y 1.

Entonces, el rango de la m (b) es [0,1]

Espero que esto esté claro .. 🙂

Answer 3

[matemáticas] f ‘(x) = 2x \ bigg (1 + b ^ 2 \ bigg) + 2b = 0 \ Rightarrow x = – \ dfrac {b} {\ bigg (1 + b ^ 2 \ bigg)} [/ matemáticas]

La segunda prueba derivada verifica que este valle de x proporciona un mínimo

[matemáticas] m (b) = \ bigg (1 + b ^ 2 \ bigg) \ bigg (\ dfrac {b} {1 + b ^ 2} \ bigg) ^ 2 + 2b \ bigg (- \ dfrac {b} {1 + b ^ 2} \ bigg) + 1 = \ dfrac {1} {1 + b ^ 2}. [/ Math]

Entonces, [matemáticas] m \ in (0,1]. [/ Matemáticas]