Cómo resolver (xa) (xb) (xc)

Para resolverlo es obvio: x = a o x = b o x = c. ¿Querías expandirlo?

Veamos lo más general [matemáticas] (xa) (xb) … (xc) = (x-a_1) (x-a_2) … (x-a_n) = \ prod {x-a_i} [/ math].

La expresión es simétrica en [math] a_i [/ ​​math] porque seguirá siendo la misma cada vez que las [math] a_i [/ ​​math] se intercambien una por la otra. Entonces, la expresión es un polinomio simétrico en [matemáticas] a_1, a_2,…, a_n [/ matemáticas] (también es un polinomio en x, pero no simétrico).

Como cualquier polinomio simétrico, se puede escribir como una combinación lineal de polinomio simétrico elemental: [matemática] \ sigma_0 = 1 [/ matemática], [matemática] \ sigma_1 = a_1 + a_2 +… + a_n = a + b + c [/ matemática], [matemática] \ sigma_2 = a_1 \ cdot a_2 +… + a_1 \ cdot a_n + .. + a_ {n-1} \ cdot a_n = ab + bc + ca [/ matemática],…, [matemática] \ sigma_n = a_1 \ cdot a_2 \ cdot a_n = abc [/ math]. En esto [math] \ sigma_1 [/ math] es la suma de [math] a_i [/ ​​math], [math] \ sigma_2 [/ math] es la suma de los productos de 2 distintos [math] a_i [/ ​​math ],…, [Math] \ sigma_n [/ math] es la suma de los productos de n distintos [math] a_i [/ ​​math].

De hecho, el producto es simple de hacer: [matemáticas] (x-a_1) (x-a_2)… (x-a_n) = x ^ n + (a_1 + a_2 +… + a_n) x ^ {n-1} +… + (a_1 a_2… a_n) = x ^ n + \ sigma_1 x ^ {n-1} +… \ sigma_k x ^ {nk} +… + \ sigma_n [/ math].

En el caso n = 3, esto da [matemáticas] (xa) (xb)… (xc) = x ^ 3 + (a + b + c) x ^ 2 + (ab + bc + ca) x + abc [/ matemáticas].

Hagamos primero los dos primeros corchetes.

[matemáticas] (xa) (xb) = x ^ {2} – (a + b) x + ab [/ matemáticas]

Ahora, esto con el tercer soporte.

[matemáticas] (x ^ {2} – (a + b) x + ab) (xc) = x ^ {3} – (a + b + c) x ^ {2} + (ac + bc + ab) x -abc [/ math]

Pero hay otra forma de hacer esto, que es más fácil. Supongamos que la expresión dada es igual a 0, entonces, podemos formar una ecuación cúbica como

[matemáticas] x ^ {3} – (suma de raíces) x ^ {2} + (producto-de-raíces-tomadas-dos-a-la-vez) x- (producto-de-raíces) [/ matemáticas], que es esencialmente lo que obtuvimos arriba.

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