Si el inverso de una relación directamente proporcional es inversamente proporcional, ¿cómo se llama el inverso de una relación lineal?

Answer 1

Antecedentes:
La forma típica de definir la proporcionalidad directa es:

[math] y [/ math] se llama directamente proporcional a [math] x [/ math] si la relación de los dos es constante.

La forma típica de definir la proporcionalidad inversa es:
[math] y [/ math] se llama inversamente proporcional a [math] x [/ math] si el producto de los dos es constante.

Entonces, si dos variables son inversamente proporcionales, podemos escribir:
[math] y = \ frac kx [/ math] para algunos [math] k [/ math] reales (generalmente restringido a ser distinto de cero o, a veces, incluso positivo)

Y si dos variables son directamente proporcionales, podemos escribir:
[matemática] y = kx [/ matemática] para algunos [matemática] k [/ matemática] real (generalmente restringido a ser distinto de cero o, a veces, incluso positivo).

Respuesta de calentamiento:
Ignorando los detalles de la pregunta y el prefacio explicativo, su pregunta real dice: “¿cómo se llama el inverso de una relación lineal?”

Ahora, cuando dices “inverso” en realidad estás haciendo una pregunta que quizás no tengas la intención de hacer. Inversa típicamente significa función inversa. Decimos que la función [math] g (x) [/ math] es la inversa de la función [math] f (x) [/ math] if [math] g (f (x)) = x [/ math] . Ese término puede ser confuso en este contexto porque la función inversa de una función que muestra proporcionalidad directa también muestra proporcionalidad directa. Y la función inversa de una función que muestra proporcionalidad inversa también muestra proporcionalidad inversa. Esos hechos pueden ser una sorpresa, pero son fáciles de verificar.

Reclamación sobre la proporcionalidad inversa:

Deje [math] f (x) = \ frac kx [/ math] para algunos [math] k \ ne 0 [/ math]. Claramente, [math] f [/ math] cumple con la definición (dada en la sección de fondo) de proporcionalidad inversa. Afirmo que [math] f [/ math] es su propio inverso. Puedo verificar mi reclamo examinando [matemáticas] f (f (x)) [/ matemáticas].

[matemáticas] f (f (x)) = f \ left (\ frac kx \ right) = \ frac k {\ left (\ frac kx \ right)} = x [/ math]

Recuerde que la definición de la función inversa de [matemática] f [/ matemática] es que, cuando la inversa se aplica a [matemática] f (x) [/ matemática] el resultado es [matemática] x [/ matemática]. Hemos demostrado que cuando [math] f [/ math] se aplica a [math] f (x) [/ math], el resultado es [math] x [/ math], por lo que vemos que debe ser su propio inverso.

Reclamación sobre la proporcionalidad directa:

Deje [math] f (x) = kx [/ math] para algunos [math] k \ ne 0 [/ math]. Claramente, [math] f [/ math] cumple con la definición de proporcionalidad directa (dada en la sección de antecedentes). Deje que [math] c [/ math] sea la constante distinta de cero igual a [math] \ frac 1k [/ math] para que [math] ck = 1 [/ math]. Deje [math] g (x) = cx [/ math]. Claramente, [math] g [/ math] también cumple con la definición de proporcionalidad directa dada en el fondo. Afirmo que [math] g [/ math] es en realidad el inverso de [math] f [/ math]. Podemos verificar examinando [math] g (f (x)) [/ math].

[matemáticas] g (f (x)) = g (kx) = c \ cdot kx = (ck) \ cdot x = x [/ matemáticas]

Llegamos a la conclusión de que, de hecho, la inversa de una función directamente proporcional es también una función directamente proporcional.

Respuesta real:
Ahora que tenemos claro qué es un inverso, puedo responder a su pregunta. La inversa de cada función lineal con pendiente distinta de cero también es una función lineal. (Debe agregar el bit sobre que la pendiente no es cero porque las relaciones lineales con pendiente cero son funciones constantes y las funciones constantes no tienen inversa). Cada función lineal que deseamos considerar puede escribirse como:
[matemática] f (x) = mx + b [/ matemática] para alguna constante real [matemática] b [/ matemática] y alguna constante real, distinta de cero [matemática] m [/ matemática]

Deje [math] g (x) = \ frac {1} m x- \ frac bm [/ math]. Claramente, [math] g [/ math] también es una función lineal. Afirmo que [math] g [/ math] es el inverso de [math] f [/ math]. Verificamos nuevamente [matemáticas] g (f (x)) [/ matemáticas]:
[matemáticas] g (f (x)) = g \ left (mx + b \ right) = \ frac {1} m \ left (mx + b \ right) – \ frac bm = x [/ math]

Como este cálculo devuelve [math] x [/ math], hemos verificado que es el inverso.

Pensamientos extra:
Parece posible que cuando preguntas sobre la “inversa de una relación lineal”, en realidad quieres decir recíproco en lugar de inverso. Sospecho que está llegando a la siguiente idea.

Si [math] f (x) = kx [/ math] muestra una relación directamente proporcional, entonces cuando miro el recíproco, [math] \ frac 1 {f (x)} = \ frac 1 {kx} [/ math ], Veo una relación inversamente proporcional.

Y viceversa…

Si [math] f (x) = \ frac kx [/ math] muestra una relación inversamente proporcional, entonces cuando miro el recíproco, [math] \ frac 1 {f (x)} = \ frac xk [/ math] , Veo una relación directamente proporcional.

Entonces, ¿qué sucede si miro el recíproco de una relación lineal? (Ignoraré la función lineal constante cero que no tiene un recíproco). Podemos examinar esto directamente:

Sea [math] f (x) = mx + b [/ math] con [math] m [/ math], [math] b [/ math] constantes reales con al menos uno del par no igual a cero.

Entonces el recíproco es [math] \ frac 1 {f (x)} = \ frac 1 {mx + b} [/ math]. Bueno, si [math] b [/ math] es cero, entonces volvemos al caso que acabamos de considerar, donde comenzamos con directamente proporcional y terminamos en inversamente proporcional después de tomar el recíproco. Pero si [math] b [/ math] no es cero, entonces la relación resultante no se ajusta a la definición usual de inversamente proporcional.

Sin embargo, debe tenerse en cuenta que mientras [math] m \ ne 0 [/ math], la gráfica de esta función resultante es solo una traducción de la gráfica de una función que SÍ encaja en la definición usual de inversamente proporcional. Si dejamos que [math] x = \ hat x- \ frac bm [/ math] entonces vemos que:

[matemáticas] \ frac 1 {f (x)} = \ frac 1 {mx + b} = \ frac 1 {m (\ hat x – \ frac bm) + b} = \ frac 1 {m \ hat x} [ /matemáticas]

Al dejar que [math] x = \ hat x- \ frac bm [/ math], simplemente traducimos la gráfica de nuestra función por unidades [math] \ frac bm [/ math]. Entonces, si bien tomar el recíproco de una función lineal no resulta exactamente en una relación inversamente proporcional, es, en un sentido fuerte, muy cercano.

Answer 2

No creo que esa relación tenga un nombre canonizado inequívoco. Lo llamaría recíproco , lo que significa que una variable depende de la inversa de la otra. Para mi intuición, a diferencia de lo inversamente proporcional , recíproco no implica la misma forma estricta [matemática] y = \ frac {\ alpha} {x} [/ matemática], pero también puede ser algo ligeramente diferente como [matemática] y = \ frac {\ alpha} {x + \ beta} [/ math] o [math] y = \ frac {\ alpha} {x} + \ beta [/ math].

Las dos ecuaciones anteriores corresponden a lo que está describiendo; son la misma relación, con las posiciones de las variables cambiadas (y las constantes cambiaron de significado). Esta es probablemente una de las razones por las que la relación que describe no tiene un nombre: no es simétrica (es decir, no podemos cambiar los lugares de las variables sin cambiar la relación), a diferencia (inversamente) proporcional o lineal.

Una forma precisa de describir la relación es decir que [math] y [/ math] es lineal al inverso (o recíproco) de [math] x [/ math]. O al revés.

Nota al margen: en algunos contextos, lineal no significa “como una línea”, sino que significa cualquier función [matemática] f [/ matemática] de modo que [matemática] f (ax + by) = af (x) + bf (y) [/ math], que es esencialmente una forma precisa de decir “como una línea que pasa por el origen”. En tales contextos, la palabra adecuada y sin ambigüedades para “como una línea que no (necesariamente) pasa por el origen” es afín .

Answer 3

y = f (x) = mx + c es una relación lineal (nave).

x = f (-1) y es el inverso de esa relación (barco).

x = f (-1) y = (1 / m) [yc], lo inverso, también es una relación lineal.

Una relación inversamente proporcional tiene un gráfico con una pendiente negativa.

Por ejemplo, pv = k, o p = k / v, aquí la presión y el volumen son inversamente proporcionales, y la relación no necesariamente forma un st. línea, a través del origen, o de otra manera. La curva, lineal o de otro tipo, tendrá pendiente negativa.

Si una línea con pendiente negativa o positiva atraviesa el origen, se llama afín.

Si no pasa por el origen, se dice que no es lineal. (No preguntes)