¿Por qué es útil discernir ecuaciones que son funciones de las que no lo son?

Answer 1

Impresionante pregunta.

Las funciones son útiles, porque puedes poner una entrada y escupirá UNA salida. Imagine una “función” de calculadora donde da respuestas arbitrarias diferentes. A veces positivo, a veces negativo. En cambio, queremos una salida consistente para cualquier entrada dada.

Las relaciones que no son funciones deben manejarse de manera diferente, ya que pueden tener múltiples salidas para una entrada dada. Es importante saber cuándo se trata con ellos y cómo tratarlos de manera adecuada.

Muchas veces hay funciones de uso común que no son invertables. Cuando “deshace” estas funciones, termina con múltiples salidas en lugar de una. Algunas funciones de uso común que no son invertables son las funciones de cuadratura y las funciones trigonométricas.

Un buen ejemplo es la función de cuadratura: [matemáticas] f (x) = x ^ {2} [/ matemáticas]. Una entrada conduce a una salida. Entonces, cuando decimos que n = 9 implica [matemática] n ^ 2 = 81 [/ matemática] no hay problema.

Pero cuando intentamos revertir este proceso, tenemos dolores de cabeza. [matemática] n ^ 2 = 81 [/ matemática] no implica n = 9, porque n también podría ser -9. Si olvida esto, puede meterse en problemas y perderá soluciones.

Otro ejemplo es la función seno. [matemática] x = \ pi [/ matemática] implica [matemática] \ sin {x} = 0 [/ matemática], pero [matemática] \ sin {x} = 0 [/ matemática] no implica [matemática] x = \ pi [/ matemáticas]. Eso es porque [matemática] \ sin {0} = 0 [/ matemática], [matemática] \ sin {3 \ pi} = 0 [/ matemática], [matemática] \ sin {- \ pi} = 0 [/ matemática] .

A veces estas “otras soluciones” no son importantes, pero a veces sí lo son.

Las calculadoras evitan esto cambiando estas inversas que no son funciones en funciones restringiendo su rango. Por ejemplo, la función de raíz cuadrada principal (lo que hace el botón en su calculadora) solo escupe respuestas positivas en lugar de alternar aleatoriamente entre positivo y negativo. La función seno inversa solo escupe las respuestas entre [matemáticas] – \ pi / 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] \ pi / 2 [/ matemáticas] aunque son posibles muchas más respuestas.

Pero es importante poder tomar esta salida de una función y derivar todas las otras posibles soluciones.

Answer 2

El Sr. McClung probablemente captó la intención de su pregunta, pero el pensamiento descuidado involucrado me atrapó. Una ecuación es un enunciado con valor de verdad sobre una posible relación de un término con otro, por ejemplo, x ^ 2 + x + 1 = 1 – x es una ecuación, el ‘=’ es un verbo y es Verdadero, Falso o tal vez. La distinción no es inútil. Gran confusión puede surgir de la confusión en el nivel más elemental. Sea preciso en su uso de ‘variable’, ‘constante’, ‘término’, ‘función’, ‘raíz’, etc.