Esta es una aplicación de una fórmula bonita, pero poco conocida. Establece que si [math] n [/ math] es un número impar, entonces
[matemáticas] \ tan (\ pi / n) \, \ tan (2 \ pi / n) \, \ cdots \, \ tan ((n-1) \ pi / 2n) = \ sqrt {n}. [/ matemáticas]
Para [matemáticas] n = 3,5,7, \ ldots [/ matemáticas], obtenemos:
[matemáticas] \ tan (\ pi / 3) = \ sqrt {3}; [/ matemáticas]
- Cómo resolver (xa) (xb) (xc)
- Cómo resolver y = -1 / 2x + 3 y = 2x-1 e y = -2x + 4 y = -x-4
- ¿Qué significa esta declaración – while (~ scanf (‘% d% d% d’, & a, & b, & n))?
- [matemáticas] x \ neq y \ neq z [/ matemáticas], si [matemáticas] x ^ 2- \ frac {yz} {a} = y ^ 2- \ frac {zx} {b} = x ^ 2- \ frac {xy} c [/ math] ¿cuál sería el valor simplificado de [math] (a + b + c) (x + y + z) [/ math]?
- No soy bueno en cálculo mental, pero soy bueno en álgebra. ¿Cómo puedo mejorar la habilidad de cálculo mental?
[matemáticas] \ tan (\ pi / 5) \, \ tan (2 \ pi / 5) = \ sqrt {5}; [/ matemáticas]
[matemáticas] \ tan (\ pi / 7) \, \ tan (2 \ pi / 7) \, \ tan (3 \ pi / 7) = \ sqrt {7}; [/ matemáticas]
y así.
Probemos el resultado general. Hacemos esto probando primero los siguientes dos resultados:
- Si [math] n [/ math] es un número entero positivo, entonces [math] 2 ^ {n-1} \ sin (\ pi / n) \, \ sin (2 \ pi / n) \, \ cdots \, \ sin ((n-1) \ pi / n) = n. [/ math]
- Si [math] n [/ math] es un número entero positivo, entonces [math] 2 ^ {n-1} \ cos (\ pi / n) \, \ cos (2 \ pi / n) \, \ cdots \, \ cos ((n-1) \ pi / n) = \ sin (n \ pi / 2). [/ math]
Considere cualquier número complejo [matemática] z [/ matemática] del módulo [matemática] 1 [/ matemática], es decir, [matemática] z = \ cos x + i \ sen x [/ matemática] para algún argumento [matemática] x [/matemáticas]. Entonces [math] z ^ {- 1} = \ cos xi \ sin x [/ math] por el teorema de de Moivre, de modo que [math] 2 \ cos x = z + z ^ {- 1} [/ math] y [ matemáticas] 2i \ sen x = zz ^ {- 1} [/ matemáticas]. Además, por el mismo teorema, [matemáticas] z ^ k = \ cos kx + i \ sin kx [/ matemáticas] y [matemáticas] z ^ {- k} = \ cos kx-i \ sin kx [/ matemáticas], entonces [matemáticas] 2 \ cos kx = z ^ k + z ^ {- k} [/ matemáticas] y [matemáticas] 2i \ sen kx = z ^ kz ^ {- k} [/ matemáticas].
Primero nos enfocamos en probar 1. Deje [math] \ theta = \ pi / n [/ math] y considere:
[matemáticas] (2i \ sin (\ pi / n)) (2i \ sin (2 \ pi / n)) \ cdots (2i \ sin ((n-1) \ pi / n)) = (zz ^ {- 1}) (z ^ 2-z ^ {- 2}) \ cdots (z ^ {n-1} -z ^ {- (n-1)}) [/ math]
[matemáticas] = z ^ {- 1} (z ^ 2-1) z ^ {- 2} (z ^ 4-1) \ cdots z ^ {- (n-1)} (z ^ {2 (n- 1)} – 1) [/ matemáticas]
[matemáticas] = z ^ {- (1 + 2 + \ cdots + (n-1))} (z ^ 2-1) (z ^ 4-1) \ cdots (z ^ {2 (n-1)} – 1) [/ matemáticas]
[matemática] = z ^ {- n (n-1) / 2} (- 1) ^ {n-1} p (z) [/ matemática] donde [matemática] p (z) = (1-z ^ 2 ) (1-z ^ 4) \ cdots (1-z ^ {2 (n-1)}). [/ Math]
Por lo tanto
[matemáticas] 2 ^ {n-1} \ sin (\ pi / n) \, \ sin (2 \ pi / n) \, \ cdots \, \ sin ((n-1) \ pi / n) = i ^ {1-n} (- 1) ^ {n-1} z ^ {- n (n-1) / 2} p (z) [/ math] donde [math] p (z) = (1-z ^ 2) (1-z ^ 4) \ cdots (1-z ^ {2 (n-1)}). [/ Math]
Ahora recuerde que [math] z = \ cos (\ pi / n) + i \ sin (\ pi / n) [/ math]. Así [matemáticas] z ^ {- n (n-1) / 2} = \ exp ((1-n) i \ pi / 2) = \ exp (-i \ pi / 2) ^ {n-1} = (-1) ^ {n-1} i ^ {n-1} [/ matemática].
Además, [matemáticas] z ^ 2, z ^ 4, \ ldots, z ^ {2 (n-1)} [/ matemáticas] son las [matemáticas] (n-1) [/ matemáticas] [matemáticas] n ^ { \ textrm {th}} [/ math] raíces de [math] 1 [/ math] que no son iguales a [math] 1 [/ math]. Por lo tanto, el polinomio [matemáticas] f (x) = (xz ^ 2) (xz ^ 4) \ cdots (xz ^ {2 (n-1)}) [/ matemáticas] que tienen estas [matemáticas] (n-1) [/ math] raíces deben ser iguales a [math] \ dfrac {x ^ n-1} {x-1} [/ math], o [math] f (x) = 1 + x + x ^ 2 + \ cdots + x ^ {n-1} [/ matemáticas]. Claramente [matemáticas] p (z) = f (1) = 1 + 1 + 1 + \ cdots + 1 = n [/ matemáticas]. Así
[matemáticas] 2 ^ {n-1} \ sin (\ pi / n) \, \ sin (2 \ pi / n) \, \ cdots \, \ sin ((n-1) \ pi / n) = i ^ {1-n} (- 1) ^ {n-1} (- 1) ^ {n-1} i ^ {n-1} n = n. [/ Matemáticas]
Probemos ahora 2. De manera similar a la prueba de 1., consideramos
[matemáticas] (2 \ cos (\ pi / n)) (2 \ cos (2 \ pi / n)) \ cdots (2 \ cos ((n-1) \ pi / n)) = (z + z ^ {-1}) (z ^ 2 + z ^ {- 2}) \ cdots (z ^ {n-1} + z ^ {- (n-1)}) [/ math]
[matemáticas] = z ^ {- 1} (z ^ 2 + 1) z ^ {- 2} (z ^ 4 + 1) \ cdots z ^ {- (n-1)} (z ^ {2 (n- 1)} + 1) [/ matemáticas]
[matemáticas] = z ^ {- (1 + 2 + \ cdots + (n-1))} (z ^ 2 + 1) (z ^ 4 + 1) \ cdots (z ^ {2 (n-1)} + 1) [/ matemáticas]
[matemática] = z ^ {- n (n-1) / 2} (- 1) ^ {n-1} q (z) [/ matemática] donde [matemática] q (z) = (- 1-z ^ 2) (- 1-z ^ 4) \ cdots (-1-z ^ {2 (n-1)}). [/ Math]
Así obtenemos
[matemáticas] 2 ^ {n-1} \ cos (\ pi / n) \, \ cos (2 \ pi / n) \, \ cdots \, \ cos ((n-1) \ pi / n) = ( -1) ^ {n-1} z ^ {- n (n-1) / 2} q (z) [/ matemática] donde [matemática] q [/ matemática] [matemática] (z) = (- 1- z ^ 2) (- 1-z ^ 4) \ cdots (-1-z ^ {2 (n-1)}). [/ math]
De la prueba de 1., [matemática] z ^ {- n (n-1) / 2} [/ matemática] es nuevamente igual a [matemática] (- 1) ^ {n-1} i ^ {n-1 } [/ math] y [math] q (z) = f (-1) = 1 + (- 1) + (- 1) ^ 2 + \ cdots + (- 1) ^ {n-1} [/ math ] Este valor es igual a [matemática] 1 [/ matemática] si [matemática] n [/ matemática] es impar y es igual a [matemática] 0 [/ matemática] si [matemática] n [/ matemática] es par. Así
[matemáticas] 2 ^ {n-1} \ cos (\ pi / n) \, \ cos (2 \ pi / n) \, \ cdots \, \ cos ((n-1) \ pi / n) = \ begin {cases} i ^ {n-1}, \ quad n \ textrm {odd} \\ 0, \ quad n \ textrm {even} \ end {cases}. [/ math]
En otras palabras, [matemáticas] 2 ^ {n-1} \ cos (\ pi / n) \, \ cos (2 \ pi / n) \, \ cdots \, \ cos ((n-1) \ pi / n) [/ math] es igual a [math] 1,0, -1,0,1,0, -1,0, \ ldots [/ math] para [math] n = 1,2,3,4, 5,6,7,8, \ ldots [/ math]. Estos valores corresponden precisamente a [math] \ sin (n \ pi / 2) [/ math], según sea necesario.
Si ahora dividimos 1. entre 2., obtenemos la fórmula
[matemáticas] \ tan (\ pi / n) \, \ tan (2 \ pi / n) \, \ cdots \, \ tan ((n-1) \ pi / n) = n \, \ csc (n \ pi / 2). [/ matemáticas]
Esto solo se define cuando [math] \ csc (n \ pi / 2) \ ne 0 [/ math], es decir, cuando [math] n [/ math] es impar. De hecho, cuando [math] n = 4k \ pm 1 [/ math], entonces [math] \ csc (n \ pi / 2) = \ pm 1 [/ math]. Por lo tanto, en adelante asumimos que [math] n [/ math] es impar.
Por la forma de la curva tangente, tenemos:
[matemáticas] \ tan (\ pi / n) = – \ tan ((n-1) \ pi / n); [/ matemáticas]
[matemáticas] \ tan (2 \ pi / n) = – \ tan ((n-2) \ pi / n); [/ matemáticas]
[matemáticas] \ vdots [/ matemáticas]
[matemáticas] \ tan ((n-1) \ pi / (2n)) = – \ tan ((n + 1) \ pi / (2n)). [/ matemáticas]
Por lo tanto, cuando [matemáticas] n = 4k + 1 [/ matemáticas], tenemos
[matemáticas] \ big (\ tan (\ pi / n) \, \ tan (2 \ pi / n) \, \ cdots \, \ tan ((n-1) \ pi / (2n)) \ big) ^ 2 = n [/ matemáticas]
mientras que [matemáticas] n = 4k-1 [/ matemáticas], tenemos
[matemáticas] – \ big (\ tan (\ pi / n) \, \ tan (2 \ pi / n) \, \ cdots \, \ tan ((n-1) \ pi / (2n)) \ big) ^ 2 = -n. [/ Matemáticas]
De cualquier manera, dado que estamos seguros de que la función tangente es positiva en el intervalo [matemáticas] 0 <x <\ pi / 2 [/ matemáticas], obtenemos el resultado final:
Cuando [math] n [/ math] es impar, [math] \ tan (\ pi / n) \, \ tan (2 \ pi / n) \, \ cdots \, \ tan ((n-1) \ pi /(2n))=\sqrt{n}.[/math]
La afirmación en cuestión se prueba poniendo [math] n = 7 [/ math] en la ecuación anterior.