Deje [math] \ dfrac {x ^ 2-yz} {a} = \ dfrac {y ^ 2-xz} {b} = \ dfrac {z ^ 2-xy} {c} = k [/ math]
Entonces, [matemáticas] (x ^ 2-yz) = ka [/ matemáticas]
[matemáticas] (y ^ 2 – xz) = kb [/ matemáticas]
[matemáticas] (z ^ 2 – xy) = kc [/ matemáticas]
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Sumando los tres anteriores, obtenemos [matemáticas] (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2-xy-yz-xz) = k (a + b + c) [/ matemáticas]…. 1
Además, podemos hacer la siguiente manipulación útil:
[matemáticas] \ dfrac {x ^ 3-xyz} {ax} = \ dfrac {y ^ 3-xyz} {by} = \ dfrac {z ^ 3-xyz} {cz} = k [/ math]
o individualmente obtenemos:
[matemáticas] x ^ 3 – xyz = k ax [/ matemáticas],
[matemáticas] y ^ 3 – xyz = k por [/ matemáticas]
[matemáticas] z ^ 3 – xyz = k cz [/ matemáticas]
Sumando los tres anteriores, obtenemos: [matemáticas] x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3 – 3xyz = k (ax + by + cz) [/ matemáticas]
o [matemáticas] (x + y + z) (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2-xy-yz-xz) = k (ax + por + cz) [/ matemáticas]…. 2
Usando la ecuación 1 en la ecuación 2, obtenemos
o [matemática] (x + y + z) [k (a + b + c)] = k (ax + por + cz) [/ matemática]
Claramente, [math] k [/ math] se cancelará como [math] k \ neq 0 [/ math] (porque [math] x \ neq y \ neq z [/ math])
Entonces, terminamos con [math] (x + y + z) (a + b + c) = (ax + by + cz) [/ math]
Esta es la simplificación requerida.
Esperando que esto sea útil. Avísame si hay algún problema.