¿Cómo probarías que [matemáticas] n ^ 1 = n [/ matemáticas] para todos [matemáticas] n [/ matemáticas]? ¿Cómo probarías matemáticamente que cualquier número elevado a la potencia de 1 es siempre ese número?

Answer 1

Me gusta la idea de una prueba ” matemática “. (¿Violencia?)

No puedes probar esto. Entrarías en razonamiento circular. Es una generalización de las ideas de números cuadrados (x²) y cubos (x³).

Es una cuestión de definición; no puedes probar lo que se toma como definición, simplemente lo es.

Sin embargo, no es una definición arbitraria cualquiera; evita cuidadosamente el caos al ser consistente en varias formas (convencionales) de ver el álgebra.

Una vez que miramos x ^ n y vemos que x ^ n * x ^ m = x ^ (n + m), la llamada “Ley” de exponenciación, podemos ver cuál nos gustaría que fuera la definición.

x ^ n * x ^ 1 = x ^ (n + 1) = x ^ n * x

entonces, x ^ 1 = x parece útil al menos cuando x ^ n no es cero. En el caso especial x = 0, también parece razonable que 0 ^ 1 sea simple 0. Entonces, aunque no tiene un significado claro, no está bien formado, tenemos una definición conveniente.

También puede ver x ^ n como una cadena de multiplicaciones de n términos cada uno = x , una definición muy básica que funciona cuando n es un número entero

x ^ n = xxxxx … .. (n multiplicandos)

x ^ 4 = xxxx

x ^ 3 = xxx

x ^ 2 = xx

x ^ 1 =?

x ^ 1 = x parece una continuación agradable y cortés de la secuencia, pero eso no es una prueba : simplemente muestra algo que parece ser una definición útil. Todavía es un poco como “x” o “x *”, con el final de la expresión colgando en el espacio.

La forma en que los matemáticos lo ven es que probablemente reduciría la necesidad de dividir más pruebas de otras cosas en muchos casos especiales, si definimos que x ^ 1 es = x. Entonces se hizo generalmente aceptado. Una cuestión de conveniencia. Por supuesto, no es necesariamente así, pero nada más útil resulta de mirarlo de otra manera.

Puedes llevar la idea más lejos en x ^ 0

x ^ n = x ^ (n + 0) = x ^ n * x ^ 0 = x ^ n * 1

de lo cual parece que sería conveniente para x ^ 0 = 1, al menos cuando x ≠ 0

Cuando x es cero, 0 ^ 0, se vuelve más complicado porque tal expresión está aún menos definida. Consulte ¿Qué es [matemática] 0 ^ 0 [/ matemática] (la potencia cero de cero)?

Y, por supuesto, uno puede buscar en los logaritmos ( un sistema dual donde la multiplicación de números ordinarios, incluidos los no enteros, tiene un equivalente además de una representación paralela, por lo que puede calcular las multiplicaciones utilizando solo sumas breves y tablas de valores). Aquí nuevamente es consistente que x ^ 1 = x.

Answer 2

Dado que [math] n ^ p [/ math] es [math] p [/ math] [math] n [/ math] se multiplican todos juntos y si acepta que [math] \ displaystyle \ frac {n ^ p } {n ^ q} = n ^ {pq} [/ math], puede demostrar la regla estableciendo [math] q = p-1 [/ math].

(Al establecer [matemáticas] q = p [/ matemáticas] también puede demostrar que [matemáticas] n ^ 0 = 1 [/ matemáticas]).

Answer 3

¿Cómo probarías que [matemáticas] n ^ 1 = n [/ matemáticas] para todos [matemáticas] n [/ matemáticas] ?

Eso dependería de cómo se defina la exponenciación y el dominio de [math] n [/ math].

Una de las definiciones más simples para [math] b ^ a [/ math] con [math] b \ in \ mathbb R [/ math] y [math] a \ in \ mathbb N [/ math] es por inducción:

1. [matemáticas] b ^ 0 \ equiv1 [/ matemáticas]
2. [matemáticas] b ^ {n + 1} = b \ veces b ^ n [/ matemáticas]

Con esta definición, la prueba de que [math] b ^ 1 = b [/ math] para todos [math] b \ in \ mathbb R [/ math] es bastante trivial:

[matemática] \ quad b ^ 1 = b \ veces b ^ 0 [/ matemática] por (2)

[math] \ Rightarrow b ^ 1 = b \ times 1 [/ math] por (1)

[math] \ Rightarrow b ^ 1 = b [/ math] por la definición de la identidad multiplicativa, [math] 1 [/ math]

Por supuesto, los matemáticos suelen generalizar tales definiciones de modo que [matemática] b ^ a [/ matemática] se defina para cualquier [matemática] 0 \ neq b \ in \ mathbb C [/ matemática] y cualquier [matemática] a \ in \ mathbb C [/ math] (un número complejo). Hacerlo correctamente trae complejidades de límites, valores múltiples, funciones inversas, etc., lo que, si investigas, te hará dudar de que [math] z ^ 1 = z [/ math] para todos [math] z \ in \ mathbb C [/ math].

A modo de ilustración, tenga en cuenta que:

• [matemáticas] 0 ^ {- 1} [/ matemáticas] no está definido;
• [matemáticas] 4 ^ {\ frac12} [/ matemáticas] es multivalor ([matemáticas] \ pm2 [/ matemáticas]); y
• [matemática] e ^ {2i \ pi} = 1 [/ matemática] entonces [matemática] e ^ {1 + 2ni \ pi} = e [/ matemática] para cualquier [matemática] n \ in \ mathbb N [/ matemática] .

Pero probablemente no necesite preocuparse por tales complicaciones …

Answer 4

Sea n = 1, si ambos lados son verdaderos, sea n = k. Ahora prueba n = k + 1. Este es el proceso de inducción. Si k + 1 es verdadero, entonces todos los valores de n que se aproximan al infinito son verdaderos; por lo tanto verdadero n = 1, por lo tanto verdadero n = 2, porque verdadero n = 2, por lo tanto verdadero n = 3, y así hasta el infinito.

Answer 5

No es algo que “pruebes” como tal.

En realidad, es parte de la definición de exponenciación, al menos cuando se trata de potencias enteras.

La definición más normal es que la exponenciación se define por una condición inicial y una relación de recurrencia.

La condición inicial es que x ^ 1 = x

La relación de recurrencia es que x ^ (y + 1) = x * (x ^ y)

Answer 6

Eso depende de la definición de poderes que uses.

Answer 7

Me parece súper obvio. El operador ^ 1 significa tomar una vez la cantidad a la que corresponde. Por lo tanto, n ^ 1 = n, no importa qué valor tenga n, ya sea un número entero, real o incluso complejo.