Cómo demostrar que [matemáticas] [nx] = [x] + \ sum_ {1} ^ {n-1} [x + 1 / n] [/ matemáticas]

Answer 1

Para [math] x \ in \ mathbb R [/ math] y [math] n \ in \ mathbb N [/ math], pruebe que

[matemáticas] \ lfloor nx \ rfloor = \ lfloor x \ rfloor + \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ {n-1} \ left \ lfloor x + \ dfrac {i} {n} \ right \ rfloor = \ displaystyle \ sum_ {i = 0} ^ {n-1} \ left \ lfloor x + \ dfrac {i} {n} \ right \ rfloor [/ math].

---

Escriba [math] x = \ lfloor x \ rfloor + \ {x \} [/ math], donde [math] 0 \ le \ {x \} <1 [/ math]. Entonces hay una única [matemática] k \ in \ {0,1,2, \ ldots, n-1 \} [/ matemática] para la cual [matemática] \ frac {k} {n} \ le \ {x \ } <\ frac {k + 1} {n} [/ math].

Arregle [math] i \ in \ {0,1,2, \ ldots, n-1 \} [/ math]. Entonces

[matemáticas] \ left \ lfloor x + \ frac {i} {n} \ right \ rfloor = \ lfloor x \ rfloor + \ left \ lfloor \ {x \} + \ frac {i} {n} \ right \ rfloor [ /matemáticas]

[matemáticas] = \ begin {cases} \ lfloor x \ rfloor & \ mbox {if} \: 0 \ le i \ le nk-1; \\ \ lfloor x \ rfloor + 1 & \ mbox {if} \: nk \ le i \ le n-1. \ end {cases} [/ math]

Por lo tanto

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {i = 0} ^ {n-1} \ left \ lfloor x + \ textstyle \ frac {i} {n} \ right \ rfloor = \ displaystyle \ sum_ {i = 0} ^ {nk -1} \ lfloor x \ rfloor + \ displaystyle \ sum_ {i = nk} ^ {n-1} \ left (\ lfloor x \ rfloor + 1 \ right) [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ sum_ {i = 0} ^ {n-1} \ lfloor x \ rfloor + \ displaystyle \ sum_ {i = nk} ^ {n-1} 1 [/ math]

[matemáticas] = n \ lfloor x \ rfloor + k [/ math]

[math] = \ lfloor nx \ rfloor [/ math], ya que [math] nx = n \ lfloor x \ rfloor + n \ {x \} [/ math] y [math] k \ le n \ {x \} <k + 1 [/ matemáticas]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 2

ver lo que realmente está sucediendo

x es cualquier número que tiene alguna parte fraccional

a medida que seguimos sumando 1 / n, el número x aumentará hasta que su parte fraccional + k veces 1 / n sea más de 1

esto sucede solo una vez

es decir, la serie contiene solo [x] y [x + 1]

ahora calculamos cuántos de estos

sea ​​x = I + f; 0 <= f <1

por lo tanto, [x] aparece hasta f + k / n> = 1 k = N ya que ahora el número x transita a su siguiente parte integral

obteniendo el valor integral de k obtenemos k = n- [nf] +1

por lo tanto, hay n- [nf] veces [x] y (n- {n- [nf]}) veces [x + 1] aquí [.] es gif

por lo tanto, suma = (n- [nf]) I + (I + 1) ([nf]) = nI- [nf] I + [nf] I + [nf] = nI + [nf] = [nI + nf]