Cómo demostrar [matemáticas] 1 = e ^ {2 \ pi ik} [/ matemáticas] para cualquier número entero [matemáticas] k [/ matemáticas]

Answer 1

Para probar esto, necesitas saber que

[matemáticas] e ^ x = 1 + x + \ dfrac {x ^ 2} {2!} + \ dfrac {x ^ 3} {3!} +…. [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ sin x = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} (-1) ^ n \ dfrac {x ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!} = x- \ dfrac {x ^ 3} {3!} + \ dfrac {x ^ 5} {5!} +…. [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ cos x = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} (-1) ^ n \ dfrac {x ^ {2n}} {(2n)!} = 1- \ dfrac {x ^ 2} {2!} + \ Dfrac {x ^ 4} {4!} -…. [/ Matemáticas]

---

[matemáticas] e ^ {ix} = 1 + ix + \ dfrac {(ix) ^ 2} {2!} + \ dfrac {(ix) ^ 3} {3!} + \ dfrac {(ix) ^ 4} { 4!} +…. [/ Matemáticas]

[matemáticas] \ implica e ^ {ix} = 1 + ix- \ dfrac {x ^ 2} {2!} – i \ dfrac {x ^ 3} {3!} + \ dfrac {x ^ 4} {4! } +… .. [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica e ^ {ix} = \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {2!} + \ dfrac {x ^ 4} {4!} -… .. \ right) + i \ left (x- \ dfrac {x ^ 3} {3!} + \ dfrac {x ^ 5} {5!} – \ right) [/ math]

[matemáticas] \ implica e ^ {ix} = \ cos x + i \ sin x [/ matemáticas]

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Poniendo [matemáticas] x = 2 \ pi [/ matemáticas],

[matemáticas] e ^ {2 \ pi i} = \ cos 2 \ pi + i \ sin 2 \ pi = 1 [/ matemáticas]

La función seno y coseno tiene un período de [matemáticas] 2 \ pi [/ matemáticas]. Por lo tanto, cualquier múltiplo de [math] 2 \ pi [/ math] producirá el mismo valor para la función seno. Lo mismo ocurre con la función coseno.

Por lo tanto, para cualquier [matemática] k \ in \ Z [/ matemática]

[matemáticas] e ^ {2 \ pi ik} = 1 [/ matemáticas]

[demostrado]

Answer 2

Muchas de las otras respuestas han ‘probado’ que esto es igual a [matemáticas] -1. [/ Matemáticas] Por favor, ignórelas.

La identidad de Euler es

[matemáticas] e ^ {i \ pi} = – 1 [/ matemáticas]

Cuadrando, obtenemos lo que yo llamo la verdadera identidad de Euler:

[matemáticas] (e ^ {i \ pi}) ^ 2 = (-1) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {2 \ pi i} = 1 [/ matemáticas]

Ahora, para enteros [matemáticas] k [/ matemáticas], podemos elevar ambos lados a la potencia [matemáticas] k [/ matemáticas].

[matemáticas] (e ^ {2 \ pi i}) ^ k = 1 ^ k [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {2 \ pi ki} = 1 [/ matemáticas]

Ahí está.

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Es bastante obvio que la declaración se deriva directamente de la identidad de Euler. Pero, ¿cómo demostramos la identidad de Euler? No me gustan mucho las pruebas de la fórmula de Euler de la serie infinita. Aquí hay una prueba de cálculo que evita la fórmula de Euler y va directamente a la identidad de Euler.

El plan es tratar de integrar ambos lados de una identidad, una que termine con [matemáticas] \ ln [/ matemáticas] y la otra con [matemáticas] \ arctan [/ matemáticas] y ver qué sucede. Sabemos que [math] \ arctan 1 = \ pi / 4 [/ math], que es cómo vamos a obtener [math] \ pi [/ math].

Comencemos con la siguiente expresión. Es un giro en [matemáticas] 1 + 1 = 2. [/ Matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {1} {1 + ix} + \ dfrac {1} {1-ix} = \ dfrac {1 + ix + 1-ix} {(1 + ix) (1-ix)} = \ dfrac {2} {1 + x ^ 2} [/ matemáticas]

El primer paso es integrarse. Una integral definida nos da la constante de integración sin un paso separado.

[matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ x \ left (\ dfrac {1} {1 + ix} + \ dfrac {1} {1-ix} \ right) \ mathrm {d} x = \ int_0 ^ x \ dfrac { 2} {1 + x ^ 2} \ \ mathrm {d} x [/ math]

[matemáticas] -i \ ln {(1 + ix)} + i \ ln {(1-ix)} \ \ | _0 ^ x = 2 \ arctan x \ \ | _0 ^ x [/ matemáticas]

Con la rama principal del arcotangente, en [math] x = 0 [/ math] todos los términos desaparecen, por lo que los puntos finales de evaluación [math] | _0 ^ x [/ math] simplemente desaparecen. Combinemos los registros:

[matemáticas] -i \ ln \ dfrac {1 + ix} {1-ix} = 2 \ arctan x [/ matemáticas]

Queremos usar [math] \ tan \ dfrac {\ pi} {4} = 1. [/ math] Para obtener un [math] i \ pi [/ math] necesitamos un factor [math] 4i [/ math] a la derecha, entonces multiplicamos ambos lados por [matemáticas] 2i [/ matemáticas].

[matemáticas] 2 \ ln \ dfrac {1 + ix} {1-ix} = 4i \ arctan x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln {\ left (\ dfrac {1 + ix} {1-ix} \ right)} ^ 2 = 4i \ arctan x [/ math]

[matemáticas] \ left (\ dfrac {1 + ix} {1-ix} \ right) ^ 2 = e ^ {i 4 \ arctan x} [/ math]

Ahora dejemos que [matemática] x = 1 [/ matemática] así que [matemática] \ arctan x = \ dfrac {\ pi} {4}. [/ Matemática]

[matemática] \ left (\ dfrac {1 + i} {1-i} \ right) ^ 2 = e ^ {i \ pi} [/ math]

Podríamos dividir primero. Puede notar que es la proporción de conjugados lo que siempre da el doble del ángulo en el círculo unitario, [matemáticas] i [/ matemáticas] en este caso. Pero es más fácil cuadrar primero:

[matemáticas] \ left (\ dfrac {1 + i} {1-i} \ right) ^ 2 = \ dfrac {1 + 2i + i ^ 2} {1-2i + i ^ 2} = \ dfrac {2i} {-2i} = -1 [/ matemáticas]

Poniendo todo junto:

[matemáticas] e ^ {i \ pi} = -1 [/ matemáticas]

Answer 3

Hay una buena interpretación geométrica de esta afirmación que me sorprende que nadie haya mencionado todavía.

La forma general de la identidad de Euler:

[matemáticas] e ^ {ix} = cos (x) + i \ sin (x) [/ matemáticas]

nos dice que [matemática] e ^ {ix} [/ matemática] corresponde al punto en el círculo unitario en el plano complejo donde el punto, el origen y el eje real positivo forman un ángulo de [matemática] x [/ matemática ] radianes:

Ahora [matemática] 2 \ pi [/ matemática] radianes es exactamente un círculo completo, y en términos de ángulos, cualquier número entero [matemático] k [/ matemático] de círculos completos es igual a un ángulo de 0 radianes. Como se ve en la imagen, el punto en un ángulo de 0 radianes desde el eje real en el círculo de la unidad del plano complejo está en 1.

Lo anterior es suficiente para mostrar que:

[matemáticas] e ^ {2 \ pi ik} = 1, \ forall k \ in \ Z [/ math]

Answer 4

Para probar esto necesitamos demostrar

Poniendo x = 2π

e ^ (i 2π) = cos2π + isin2π = 1

para cualquier [matemática] k∈Z [/ matemática]

e ^ (i 2πk) = 1.

Desde entonces, la función sin y cos tiene un período de [matemáticas] 2π [/ matemáticas]. Entonces, cualquier multiplicación producirá el mismo valor.