Cómo determinar el polinomio de Taylor del grado 2 de la función [matemáticas] g (x, y) = (x ^ 2 + y) e ^ {xy} [/ matemáticas] en desarrollo en el punto [matemáticas] (x_0, y_0) = ( 1, -2) [/ matemáticas]

Answer 1

[matemáticas] f (\ vec {x}) = f (\ vec {x_0}) + \ nabla f (\ vec {x_0}) (\ vec {x} – \ vec {x_0}) + \ frac {1} {2} (\ vec {x} – \ vec {x_0}) ^ TG (x_0) (\ vec {x} – \ vec {x_0}) + o (|| \ vec {x} – \ vec {x_0} || ^ 2) [/ matemáticas]

donde [matemáticas] g_ {ij} = \ frac {\ partial ^ 2 f} {\ partial x, \ partial y}, \ vec {x} = \ left (\ begin {array} {l} x \\ y \ end {array} \ right) [/ math]

[matemáticas] \ nabla f = (2x + y (x ^ 2 + y)) e ^ {xy}; (1 + x (x ^ 2 + y)) e ^ {xy}), \ nabla f (x_0) = (4e ^ {- 2}; 0) [/ matemáticas]

[matemáticas] G = \ left (\ begin {array} {ll} e ^ {xy} (2 + 4 xy + x ^ 2 y ^ 2 + y ^ 3) & e ^ {xy} (3 x ^ 2 + 2 y + x ^ 3 y + xy ^ 2) \\ e ^ {xy} (3 x ^ 2 + 2 y + x ^ 3 y + xy ^ 2) & e ^ {xy} x (2 + x ^ 3 + xy) \ end {array} \ right) [/ math]

[matemáticas] G (x_0) = e ^ {- 2} \ left (\ begin {array} {ll} -10 && 1 \\ 1 && 1 \ end {array} \ right) [/ math]

Así [matemáticas] f (x, y) = – e ^ {- 2} + 4e ^ {- 2} (x-1) -5e ^ {- 2} (x-1) ^ 2 + e ^ {- 2 } (x-1) (y + 2) + \ frac {1} {2} e ^ {- 2} (y + 2) ^ 2 + o ((x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2) [/ matemáticas]

Algo así (no he verificado las matemáticas, así que * tal vez * hay algunos errores numéricos).

Answer 2

Tomaría las derivadas en ese punto y las expresaría como: [matemáticas] a + b (x-1) + c (y + 2) + d (x-1) ^ 2/2 + f (x-1) (y + 2) + g (y + 2) ^ 2/2 [/ matemática], donde [matemática] a [/ matemática] es el valor, [matemática] b [/ matemática] es la derivada wrt [matemática] x [/ matemática], [matemática] c [/ matemática] wrt [matemática] y [/ matemática] y [matemática] d [/ matemática], [matemática] f [/ matemática] y [matemática] g [/ matemática ] son ​​las segundas derivadas.

Answer 3

El punto clave es la forma en que se expresa la función. Es un producto de funciones elementales para las que ya conoce la serie Taylor. Por lo tanto, la serie Taylor de la función es el producto de la serie Taylor de las funciones elementales más pequeñas, donde simplemente se eliminan los términos superiores al orden 2. No se necesitan derivadas. Sin embargo, la pista con la que comienza su profesor es que e a una potencia constante es solo una constante, por lo que puede factorizarlo.

¡Nunca haga más de lo que tiene que hacer y siempre sea flojo con su enfoque! Si ha inventado la rueda y ahora está trabajando en inventar una bicicleta, no necesita volver a conducirla.