¿Por qué d (lnx) / dx = 1 / x? ¿Por qué la derivada de lnx es 1 / x?

Answer 1

Considere la ecuación [matemáticas] y = \ ln f (x) [/ matemáticas], entonces tenemos [matemáticas] e ^ y = f (x) [/ matemáticas].

Realizar diferenciación implícita en ambos lados con respecto a x .

[matemáticas] \ begin {align} \ dfrac {d} {dx} e ^ y & = \ dfrac {d} {dx} f (x) \\ e ^ y \ dfrac {dy} {dx} & = f ‘( x) \\\ dfrac {dy} {dx} & = \ dfrac {f ‘(x)} {e ^ y} \\\ dfrac {dy} {dx} & = \ dfrac {f’ (x)} { f (x)} \ end {align} [/ math]

Esta será una herramienta muy poderosa que puede usarse en la integración y diferenciación de la forma [math] \ ln f (x) [/ math] y [math] \ dfrac {f ‘(x)} {f (x)} [/matemáticas].

Para el caso especial donde [math] f (x) = x [/ math], tenemos [math] f ‘(x) = 1 [/ math]. Entonces, del descubrimiento anterior, [math] \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {f ‘(x)} {f (x)} = \ dfrac {1} {x} [/ math].

Gracias Maxis Jaisi por la inspiración. 😉

Answer 2

Para y = En (x) lo siguiente debe ser cierto:

[matemáticas] x = e ^ y [/ matemáticas]

Usando la diferenciación implicada,

[matemáticas] dx / dx = e ^ y * dy / dx [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 = e ^ y * dy / dx [/ matemáticas]

[matemáticas] dy / dx = 1 / e ^ y. [/ matemáticas]

Sustituyendo de “[matemáticas] x = e ^ y [/ matemáticas]” arriba:

dy / dx = 1 / x.

La derivada de la función x = [matemáticas] e ^ y [/ matemáticas] es [matemáticas] e ^ y [/ matemáticas]. En otras palabras, la pendiente de [math] e ^ y [/ math] es igual a sí misma en cualquier valor de y que le conectemos. Ese es el reclamo de fama de [math] e ^ y [/ math].

Como x es igual a [math] e ^ y [/ math], y porque ln (x) es la función inversa de [math] e ^ y [/ math], no sorprende que la derivada de ln (x) sería 1 / x.

Míralo así:

• La pendiente de x = e ^ y,

• es [matemáticas] e ^ y [/ matemáticas] * dx / dy.
• Tenga en cuenta que [math] e ^ y [/ math] = x para todo x> 0.

La pendiente de y = ln (x) es:

• 1 / x * dy / dx.
• Pero x = [matemáticas] e ^ y [/ matemáticas], entonces la pendiente también es
• 1 [matemática] / e ^ y [/ matemática] * dy / dx.

Si comparamos pendientes, es más fácil ver, comprender y utilizar la relación entre las funciones:

Answer 3

¿Qué es [matemáticas] \ ln (x) [/ matemáticas]? Es el número al que tienes que subir [math] e [/ math] para obtener [math] x [/ math]. En otras palabras,

[matemáticas] y = \ ln (x) \ iff e ^ {y} = x. [/ matemáticas]

Vamos a diferenciar ambos lados de [matemáticas] e ^ {y} = x [/ matemáticas] con respecto a [matemáticas] x. [/ Matemáticas] Obtenemos

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} e ^ {y} = 1, [/ matemáticas] o [matemáticas] \ frac {dy} {dx} = \ frac {1} {e ^ {y}}. [ /matemáticas]

Pero [matemática] e ^ {y} = x, [/ matemática] así que hemos terminado.

Answer 4

¿Por qué es la derivada de [math] \ ln (x) [/ math] lo que es? Porque si miras [matemáticas] \ frac {\ ln (x + h) – \ ln (x)} {h} [/ matemáticas] y tomas el límite como [matemáticas] h [/ matemáticas] va a [matemáticas] 0 [/ math] terminas con [math] \ frac {1} {x} [/ math].

Observe si toma [matemáticas] e ^ {(\ frac {\ ln (x + h) – \ ln (x)} {h})} [/ matemáticas] y aplica las propiedades de los registros y exponentes que tiene [matemáticas] ( e ^ {\ ln (1 + h / x)}) ^ {1 / h} = (1+ \ frac {h} {x}) ^ {1 / h} [/ math]. Dejar que [math] h [/ math] vaya a cero se convierte en [math] e ^ {1 / x} [/ math], por lo que tomar el registro natural de esto da el valor de nuestra derivada.

Answer 5

Creo que estaría interesado en ver este video que hice usando el programa Autograph que muestra claramente el gradiente de y = ln (x) en x = 2 es 1/2 y el gradiente en x = 3 es 1/3, en x = 4 grad es 1/4, etc.

SCREENCAST que muestra por qué grad de ln (x) es 1 / x

http://screencast.com/t/keYAR40P …

Answer 6

Podemos demostrar eso con el teorema fundamental del cálculo.

f ‘(x) = lim [h-> 0] (f (x + h) – f (x)) / h

Entonces f ‘(x) = [ln (x + h) – ln (x)] / h

Te dejaré el resto para que te des cuenta de que la h se cancelará y obtendrás 1 / x.