¿Cómo se encuentra el tercer polinomio de Taylor [matemáticas] f (x) = sin (4x ^ 2) [/ matemáticas]?

Answer 1

A su fórmula le falta un componente, el cambio por el valor de pivote, [math] a [/ math].

[matemáticas] P_n (x) = f (a) + \ frac {f ‘(a)} {1!} (x – a) ^ 1 + \ frac {f’ ‘(a)} {2!} (x – a) ^ 2 + \ frac {f ” ‘(a)} {3!} (X – a) ^ 3 +… + \ frac {f ^ {(n)} (a)} {n!} ( x – a) ^ n [/ matemáticas]

Nuestro polinomio de tercer grado, por supuesto, será

[matemáticas] P_3 (x) = f (a) + \ frac {f ‘(a)} {1!} (x – a) ^ 1 + \ frac {f’ ‘(a)} {2!} (x – a) ^ 2 + \ frac {f ” ‘(a)} {3!} (X – a) ^ 3 [/ matemáticas]

Si tiene problemas con la idea de un polinomio de Taylor, debe considerarlo como una “curva de mejor ajuste” sobre un cierto punto, [matemática] (a, f (a)) [/ matemática] de la función original . Cuanto más lejos esté su valor para la variable [math] x [/ math] de su valor constante [math] a [/ math], peor será el polinomio de Taylor para predecir el valor de [math] f (x) [/ matemáticas].

Es importante recordar que mientras la porción [math] \ frac {f ” (a)} {2!} [/ Math] incluye una derivada de una función, ese valor es una constante ya que [math] a [/ math] es constante Veamos primero los derivados de nuestra función .

[matemáticas] f (x) = \ sin (4x ^ 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] f ‘(x) = 8x \ cos (4x ^ 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] f ” (x) = 8 \ cos (4x ^ 2) – 64x ^ 2 \ sin (4x ^ 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] f ” ‘(x) = -192 x \ sin \ left (4 x ^ 2 \ right) -512 x ^ 3 \ cos \ left (4 x ^ 2 \ right) [/ math]

Si conectamos nuestra constante, [math] a [/ math], que en este caso es cero, obtenemos

[matemáticas] f (0) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] f ‘(0) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] f ” (0) = 8 [/ matemáticas]

[matemáticas] f ” ‘(0) = 0 [/ matemáticas]

Conectando eso de nuevo a [matemáticas] P_3 (x) [/ matemáticas],

[matemáticas] P_3 (x) = 0 + \ frac {0} {1!} (x – 0) ^ 1 + \ frac {8} {2!} (x – 0) ^ 2 + \ frac {0} { 3!} (X – 0) ^ 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] P_3 (x) = 4x ^ 2 [/ matemáticas].

Veamos qué tan bien lo hicimos:

Esto coincide con la aproximación de ángulo pequeño, que establece que

[math] \ sin (\ theta) \ approx \ theta [/ math] cuando [math] \ theta [/ math] está muy cerca de cero.

Answer 2

El polinomio de Taylor de grado [matemático] n [/ matemático] para una función [matemático] f (x) [/ matemático] alrededor del punto de pivote [matemático] (a, f (a)) [/ matemático] se define como

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {i = 0} ^ {n} \ frac {f ^ {(i)} (a)} {i!} (xa) ^ i [/ math]

Para [matemáticas] a = 0 [/ matemáticas], esto se simplifica a

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {i = 0} ^ {n} \ frac {f ^ {(i)} (0)} {i!} x ^ i [/ math]

Para la serie de Taylor infinita, se toma el límite de [math] n \ to \ infty [/ math].

En su caso con [matemática] f (x) = \ sin (4x ^ 2) [/ matemática], [matemática] n = 3 [/ matemática] y [matemática] a = 0 [/ matemática]:

[matemáticas] \ displaystyle f (x) = \ sin (4x ^ 2) \ implica f (0) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle f ‘(x) = 8x \ cos (4x ^ 2) \ implica f’ (0) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle f ” (x) = 8 \ cos (4x ^ 2) -64x ^ 2 \ sin (4x ^ 2) \ implica f ” (0) = 8 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle f ” ‘(x) = -512x ^ 3 \ cos (4x ^ 2) -192x \ sin (4x ^ 2) \ implica f’ ” (0) = 0 [/ matemáticas]

Solo la segunda derivada no es cero en [math] x = 0 [/ math]. Por lo tanto, el polinomio de Taylor de tercer grado es

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {8} {2} x ^ 2 = \ boxed {4 x ^ 2} [/ math]

Esto no es una sorpresa, porque [matemática] \ sen x \ aprox x [/ matemática] para [matemática] x [/ matemática] cercana a 0, entonces [matemática] \ sen 4x ^ 2 \ aprox 4x ^ 2 [/ matemática ] para pequeñas [matemáticas] x [/ matemáticas].

Answer 3

El polinomio de Taylor de una función arbitraria en un punto [matemático] x = a [/ matemático] tiene el siguiente formato:

[matemáticas] P_n (a) = \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ dfrac {f ^ {(n)} (x)} {n!} (xa) ^ n [/ math]

[matemáticas] f ‘(x) = 8x \ cos (4x ^ 2) \ implica f’ (0) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] f ” (x) = 8 \ cos (4x ^ 2) -64x ^ 2 \ sin (4x ^ 2) \ implica f ” (0) = 8 [/ matemáticas]

[matemáticas] f ^ {(3)} (x) = – 64x \ sin (4x ^ 2) -128x \ sin (4x ^ 2) -512x ^ 3 \ cos (4x ^ 2) \ implica f ^ {(3 )} (0) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] P_3 (0) = f (0) + \ dfrac {f ‘(0)} {1!} (x-0) + \ dfrac {f’ ‘(0)} {2!} (x-0 ) ^ 2 + \ dfrac {f ^ {(3)} (x)} {3!} (X-0) ^ 3 +…. [/ Math]

[matemáticas] \ implica P_3 (0) = 0 + 0 + 4x ^ 2 + 0 +…. [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica P_3 (0) = 4x ^ 2 [/ matemáticas]

Answer 4

a = 0 es el centro de la serie Taylor. Siempre será cero para todos los términos de la serie. El polinomio de orden 3 significa que calcula los términos hasta el término que contiene [matemáticas] x ^ 3 [/ matemáticas]

La forma general de la serie de Taylor para f (x) se da a continuación. Si el centro es cero, puede usar el resultado para la serie Taylor de sinx y otras funciones elementales directamente.

Para su pregunta específica, debe reemplazar [matemáticas] x [/ matemáticas] en la fórmula anterior por [matemáticas] 4x ^ 2 [/ matemáticas]