Cómo encontrar las raíces de [matemáticas] x ^ 4 + 2x ^ 3 – 13x ^ 2 + 4x – 12 [/ matemáticas] sin usar la calculadora

Answer 1

Debería utilizar una variedad de estrategias ya descritas. Sin embargo, ninguno de ellos dará respuestas exactas para raíces irracionales, solo estimaciones decimales.

Regla de signos de Descartes : Básicamente, cuenta el número de cambios de signo entre los términos, y ese (o un número con la misma paridad que es menor que el término) es el número de ceros reales positivos. Para ceros reales negativos, es el número de cambios de signo para [math] f (-x) [/ math]. Los ceros complejos es el número que queda.

Entonces, hay un total de cuatro ceros (debido al grado).

[matemática] f (x) [/ matemática]: [matemática] + + – + – [/ matemática]: 3 cambios de signo; 3 o 1 ceros reales positivos posibles.

[matemática] f (-x) [/ matemática]: [matemática] + – – – – [/ matemática]: 1 cambio de signo; 1 cero real negativo (garantizado)

Esto significa que hay 2 o 0 ceros complejos.

Raíces racionales : cada raíz racional tendrá la forma [math] \ pm \ frac {p} {q} [/ math], donde [math] p [/ math] es un factor del término constante y [math] q [/ math] es un factor del coeficiente principal.

Posibles ceros racionales: [matemática] \ pm 1 [/ matemática], [matemática] \ pm 2 [/ matemática], [matemática] \ pm 3 [/ matemática], [matemática] \ pm 4 [/ matemática], [matemática ] \ pm 6 [/ matemáticas], [matemáticas] \ pm 12 [/ matemáticas]

Teorema restante : Esto básicamente establece que, al dividir un polinomio por una expresión lineal de la forma [math] xa [/ math], el resto es el valor de [math] f (a) [/ math]. Esto es útil porque podemos usar la división sintética para encontrar ceros.

Límites : al dividir un polinomio con un coeficiente principal positivo por una expresión lineal de la forma [matemática] xa [/ matemática] y [matemática] a> 0 [/ matemática], si todos los coeficientes de los términos del polinomio resultante son positivos, entonces todos los ceros positivos son menores o iguales a [math] a [/ math]. Del mismo modo, si [matemática] a <0 [/ matemática] y todos los términos del polinomio resultante alternan entre positivo y negativo, entonces todos los ceros negativos son mayores o iguales que [matemática] a [/ matemática].

Teorema del valor intermedio : si hay dos puntos [matemática] (a, f (a)) [/ matemática] y [matemática] (b, f (b)) [/ matemática] en una función continua [matemática] f (x ) [/ math], entonces siempre debe haber un valor [math] c [/ math] tal que [math] f (c) \ in (f (a), f (b)) [/ math]. Entonces, si encuentra que un punto está por encima del eje xy un punto está por debajo del eje x, entonces debe haber un cero en el medio.

Puede usar una tabla de división sintética para resolver el problema ahora; Lo editaré más tarde.

Answer 2

Puedes hacer una “prueba de raíces racionales”.

Tomas el término constante, en este caso [matemáticas] 12 [/ matemáticas]. Y tomas todos los números que es divisible por: [matemáticas] 1, \; 2, \; 3, \; 4, \; 6, \; 12 [/ matemáticas].

Ahora tome el coeficiente delante del término polinomial de mayor grado. En este caso es [matemática] 1 [/ matemática]. Si tuviéramos otro número, entonces tendrías que tomar todos los números por los que también era divisible.

Después de este. Cree cada razón por todos los números divisibles del coeficiente y todos los números divisibles de la constante. Y haz un plus menos también:

Entonces, en este caso será [matemáticas] \ pm \ frac {1} {1}, \; \ pm \ frac {2} {1}, \; \ pm \ frac {3} {1}, \; \ pm \ frac {4} {1}, \; \ pm \ frac {6} {1} \; \ pm \ frac {12} {1} [/ matemáticas]

Entonces cualquiera de estos podría ser una posible raíz. Sin embargo, algunos NO pueden ser, pueden ser una raíz cuadrada de dos o algo. Pero está bien, porque tan pronto como encontremos una raíz podemos usar la división larga polinómica para factorizarla. Entonces, si encontramos una raíz, podemos usar la división larga para reducir esto a un polinomio de potencia 3.

Una prueba realizada por mí mismo dio que [matemáticas] x = -6 [/ matemáticas] dio [matemáticas] +360 [/ matemáticas] pero [matemáticas] x = -4 [/ matemáticas] dio [matemáticas] -108 [/ matemáticas], entonces una raíz debe estar en algún punto intermedio. Algunas otras pruebas dieron que la función era [matemática] -24 [/ matemática] para [matemática] x = 2 [/ matemática], pero [matemática] +18 [/ matemática] para [matemática] x = 3 [/ matemática] entonces debería haber otra raíz en algún punto intermedio.

La prueba de raíces racionales te ayuda a resolver aproximadamente cuáles deberían ser tus raíces. Pero puede probarlos al principio y luego hacer un pequeño cálculo numérico, probando valores cercanos a estos.

Usando wolfram alpha, dos raíces fueron [matemáticas] -4.913 [/ matemáticas] y [matemáticas] 2.7586 [/ matemáticas]. Entonces, al usar la prueba de raíz racional y obtener raíces cercanas a estas, puede reducir el polinomio y luego encontrar las otras raíces que son imaginarias.

La prueba de raíces racionales le da las raíces directamente. O le da un valor cercano a las raíces, de modo que ha disminuido la cantidad de raíces posibles. Tenga en cuenta que esto solo funciona para raíces reales . No imaginario

Answer 3

No puede , al menos no de manera realista.

Este es un polinomio irreducible de cuarto grado sobre los racionales. Usando la fórmula cuártica, podemos determinar que las raíces son

[matemáticas] – \ frac {1} {2} + \ frac {1} {2 \ sqrt {\ frac {3} {29- \ frac {1} {\ sqrt [3] {7777-72 \ sqrt {11667 }}} – \ sqrt [3] {7777-72 \ sqrt {11667}}}}} – \ frac {1} {2} \ sqrt {\ frac {58} {3} + \ frac {1} {3 \ sqrt [3] {7777-72 \ sqrt {11667}}} + \ frac {1} {3} \ sqrt [3] {7777-72 \ sqrt {11667}} – 36 \ sqrt {\ frac {3} {29- \ frac {1} {\ sqrt [3] {7777-72 \ sqrt {11667}}} – \ sqrt [3] {7777-72 \ sqrt {11667}}}}} \ aproximadamente 0.08 – 0.94 i [/matemáticas]

y

[matemáticas] – \ frac {1} {2} + \ frac {1} {2 \ sqrt {\ frac {3} {29- \ frac {1} {\ sqrt [3] {7777-72 \ sqrt {11667 }}} – \ sqrt [3] {7777-72 \ sqrt {11667}}}}} + \ frac {1} {2} \ sqrt {\ frac {58} {3} + \ frac {1} {3 \ sqrt [3] {7777-72 \ sqrt {11667}}} + \ frac {1} {3} \ sqrt [3] {7777-72 \ sqrt {11667}} – 36 \ sqrt {\ frac {3} {29- \ frac {1} {\ sqrt [3] {7777-72 \ sqrt {11667}}} – \ sqrt [3] {7777-72 \ sqrt {11667}}}}} \ aprox 0.08 + 0.94 i [/matemáticas]

y

[matemáticas] – \ frac {1} {2} – \ frac {1} {2 \ sqrt {\ frac {3} {29- \ frac {1} {\ sqrt [3] {7777-72 \ sqrt {11667 }}} – \ sqrt [3] {7777-72 \ sqrt {11667}}}}} – \ frac {1} {2} \ sqrt {\ frac {58} {3} + \ frac {1} {3 \ sqrt [3] {7777-72 \ sqrt {11667}}} + \ frac {1} {3} \ sqrt [3] {7777-72 \ sqrt {11667}} + 36 \ sqrt {\ frac {3} {29- \ frac {1} {\ sqrt [3] {7777-72 \ sqrt {11667}}} – \ sqrt [3] {7777-72 \ sqrt {11667}}}}} \ aprox -4.91 [/ matemáticas]

y

[matemáticas] – \ frac {1} {2} – \ frac {1} {2 \ sqrt {\ frac {3} {29- \ frac {1} {\ sqrt [3] {7777-72 \ sqrt {11667 }}} – \ sqrt [3] {7777-72 \ sqrt {11667}}}}} + \ frac {1} {2} \ sqrt {\ frac {58} {3} + \ frac {1} {3 \ sqrt [3] {7777-72 \ sqrt {11667}}} + \ frac {1} {3} \ sqrt [3] {7777-72 \ sqrt {11667}} + 36 \ sqrt {\ frac {3} {29- \ frac {1} {\ sqrt [3] {7777-72 \ sqrt {11667}}} – \ sqrt [3] {7777-72 \ sqrt {11667}}}}} \ aprox 2.76 [/ matemáticas ]

No hace falta decir que esto no es algo que sea razonable hacer a mano. Quizás podría aproximar manualmente las raíces a la precisión de uno o dos dígitos, pero incluso esto sería increíblemente laborioso.

Answer 4

Bueno, sin una calculadora o un dispositivo de este tipo, por supuesto, podría hacer uso de tecnología antigua como tablas de registro o una regla de cálculo.

Otro enfoque, es el método de tangente newton (x_new = x_old -f / f ‘) y realiza los cálculos a mano. muy tedioso

el método de acordes de newton es menos preciso pero no requiere el cálculo de f ‘, es decir, df / dx

Otro enfoque es el papel cuadriculado, use el teorema de la raíz racional para encontrar valores de f en las supuestas raíces. y luego use una spline o regla para aproximar la función y, por lo tanto, encuentre las raíces en y = 0.

Tenga en cuenta que una vez que tenga una raíz real, puede dividirla para obtener un polinomio de orden inferior.

El cálculo manual de cubic es más manejable, la iteración sigue siendo el mejor método.

dividir nuevamente por la segunda raíz para dar un cuadrático. usa la fórmula cuadrática para revelar las raíces complejas (que son conjugados)

Answer 5

Mira el último término. Las raíces deben ser factores de este número, en este caso, 1,2,3,4,6 o 12, ya sea con un signo más o menos.

Inserte estos números en el polinomio y compruebe cuál (es) da cero como resultado.

Debe saber cuántos resultados (como máximo) puede esperar obtener.

Answer 6

use la división sintética …… si no sabe qué es la división sintética, por favor, búsquela en Google.