Las raíces de la ecuación [matemáticas] x ^ 2 + 3x-10 = 0 [/ matemáticas] son ​​[matemáticas] \ alpha [/ matemáticas] y [matemáticas] \ beta [/ matemáticas], donde [matemáticas] \ alfa <\ beta [/ math]. ¿Una ecuación cuyas raíces son [matemáticas] \ alpha-1 [/ matemáticas] y [matemáticas] \ beta + 2 [/ matemáticas] es?

Answer 1

Método 1: Encuentre las raíces (más fácil, pero no es el método ideal para este tipo de preguntas. Esto se debe a que no todas las cuadráticas tienen raíces enteras o racionales)

[matemáticas] x ^ 2 + 3x-10 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica (x + 5) (x-3) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x = -5,2 [/ matemáticas]

Como [math] \ alpha <\ beta [/ math], tenemos [math] \ alpha = -5, \ beta = 2 [/ math]

Por lo tanto, [math] \ alpha-1 = -6, \ beta + 2 = 4 [/ math]

La ecuación cuadrática es creada por

[matemáticas] x ^ 2 + (\ text {suma de raíces}) x + \ text {producto de raíces} = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x ^ 2-2x-24 = 0 [/ matemáticas]

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Método 2: el método ideal, usando las reglas de Vieta

Para una ecuación cuadrática [matemática] ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemática] que tiene las raíces [matemática] \ alpha [/ matemática] y [matemática] \ beta [/ matemática], tenemos

[matemáticas] \ alpha + \ beta = – \ dfrac {b} {a}, \ alpha \ beta = \ dfrac {c} {a} \ tag {*} [/ matemáticas]

Entonces,

[matemáticas] \ alpha + \ beta = – \ dfrac {3} {1} = – 3… .. [i] [/ matemáticas]

[matemáticas] \ alpha \ beta = \ dfrac {-10} {1} = – 10 [/ matemáticas]

Sabemos

[matemáticas] \ alpha- \ beta = \ sqrt {(\ alpha + \ beta) ^ 2–4 \ alpha \ beta} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ alpha- \ beta = \ sqrt {(- 3) ^ 2–4 (-10)} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ alpha- \ beta = \ sqrt {9 + 40} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ alpha- \ beta = \ sqrt {49} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ alpha- \ beta = 7… .. [ii] [/ matemáticas]

Agregar [i] y [ii]

[matemáticas] 2 \ alpha = 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ alpha = 2 [/ matemáticas]

Sustituyendo en la ecuación [i] da

[matemáticas] \ beta = -5 [/ matemáticas]

Parece que nuestro procedimiento es correcto, pero la forma en que lo configuramos simplemente cambió las raíces, por lo que solo cambiaremos las variables ahora, para que seamos buenos con la condición.

Solo piense así, una raíz es menos que la otra. Entonces simplemente lo cambiaremos. La raíz más pequeña es [matemática] \ alpha = -5 [/ matemática] y la otra es [matemática] \ beta = 2 [/ matemática]

Entonces, [matemáticas] \ alpha-1 = -6, \ beta + 2 = 4 [/ matemáticas]

La ecuación cuadrática es creada por

[matemáticas] x ^ 2 + (\ text {suma de raíces}) x + \ text {producto de raíces} = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x ^ 2-2x-24 = 0 [/ matemáticas]

Answer 2

Ecuación dada: X² + 3X —10 = 0 Sus raíces son a & β a <β

Desde la suma de las raíces = -b / a & producto de las raíces = c / a

Entonces, a + β = -3 y aβ = -10

Las raíces de la ecuación desconocida son, (a-1) y (β + 2)

Entonces, la ecuación desconocida =

X²— (suma de las raíces) X + producto de las raíces = 0

Suma de las raíces = a-1 + β + 2 = a + β +1

= —3 + 1 = —2

Suma de las raíces = —2 …………. (1)

Ahora, producto de las raíces = (a —1) (β + 2)

= aβ —β + 2a —2

= —10 —β + 2a —2

= 2a —β —12 ……………. (2)

Ahora obtenemos el valor de a & β & sustituto en la expresión anterior.

aβ = —10

Entonces, a = —10 / β

Ponlo en a + β = —3

Obtenemos —10 / β + β = —3

=> —10 + β² = —3β

=> β² + 3β —10 = 0

=> (β + 5) (β —2) = 0

Entonces, β = —5 o +2

Si β = —5, => a —5 = —3 entonces, a = 2

Si β = 2, => a +2 = —3 entonces, a = —5

Dado que a <β, aquí se descartará el primer conjunto de valores.

Entonces, a = —5, y β = 2 …………… (3)

Entonces el producto de las raíces 2a —β —12 se convierte en

2 * (—5) – 2 —12

= —10 —14

= —24

Así que ahora producto de las raíces = —24 ………… .. (4)

Así que finalmente por … (1) & … .. (4) nuestra ecuación será

X² – (—2) X + (—24) = 0

=> X² + 2X —24 = 0 ANS

Answer 3

La ecuación se factoriza fácilmente y las raíces son [matemáticas] \ alpha = -2 [/ matemáticas] y [matemáticas] \ beta = 5. [/ Matemáticas]

Para la nueva ecuación, las raíces son [matemáticas] \ alpha-1 = -3 [/ matemáticas] y [matemáticas] \ beta + 2 = 7 [/ matemáticas]

suma de raíces = -3 = 7 = 4 y producto de raíces = -3 * 7 = -21

La nueva ecuación es [matemáticas] x ^ 2–4x-21 = 0 [/ matemáticas]