¿Prueba de que todas las permutaciones pueden expresarse como producto de ciclos disjuntos?

Answer 1

Supongo que estamos hablando de muchos dígitos.

Ahora mire una permutación para ver que es un producto de ciclos.

Toma un digito. La permutación lleva el dígito a otro dígito. Ese otro dígito se lleva a otro dígito y así sucesivamente. Como solo tenemos un número finito de dígitos, eventualmente llegaremos al dígito original. Entonces tenemos una órbita cíclica de dígitos.

Un dígito no puede estar en dos órbitas cíclicas diferentes, obviamente, porque la permutación lo mueve a un objetivo único, y es el objetivo de otro elemento único, que es el elemento al que lo lleva la inversa de nuestra permutación. Entonces las órbitas cíclicas no se superponen, y por supuesto cubren todos los dígitos.

Ahora, para cada órbita cíclica, puede definir una permutación cíclica que solo hace a los elementos de ella lo que hace la permutación original, y corrige todos los demás dígitos. Claramente, nuestra permutación original es el producto de todas estas permutaciones cíclicas.