¿Cuándo a = b = c entonces a = c no es cierto?

Answer 1

La proposición ([math] a = b) [/ math] [math] \ & [/ math] ([math] b = c) \ Rightarrow (a = c) [/ math] puede hacerse falsa si cambia el definición de la relación “[matemáticas] = [/ matemáticas]”.

En matemática estándar, la relación “[matemáticas] = [/ matemáticas]” se define como un predicado de 2 variables que asigna un par de entradas [matemáticas] (a, b) [/ matemáticas] a un valor de verdad (y para el en este momento estamos asumiendo que [math] a [/ math] & [math] b [/ math] son ​​elementos del mismo conjunto [math] \ mathbb {S} [/ math]). Entonces el predicado “[math] = (a, b) [/ math] “(que es la notación más precisa para [math] a = b [/ math]) puede ser verdadero o falso, dependiendo de los valores de [math] a [/ math] & [matemáticas] b [/ matemáticas].

Satisface los siguientes axiomas:

1. [matemáticas] = (a, a) [/ matemáticas] (reflexivo)
2. [matemática] = (a, b) [/ matemática] [matemática] \ Leftrightarrow [/ matemática] [matemática] = (b, a) [/ matemática] (simétrica)
3. [matemática] = (a, b) [/ matemática] [matemática] \ & [/ matemática] [matemática] = (b, c) \ Flecha derecha [/ matemática] [matemática] = (a, c) [/ matemática] (Transitivo)

Si simplemente excluye el axioma de transitividad, cambiando así la definición de la relación “[matemáticas] = [/ matemáticas]”, puede llegar a ejemplos donde “[matemáticas] a = b = c \ not \ Rightarrow a = c “[/matemáticas].

Aquí hay uno –

En lugar del axioma de transitividad, introduzca un axioma diferente como este:

• [matemática] \ existe \ phi \ in \ mathbb {S}: [/ matemática] [matemática] = (a, \ phi) [/ matemática] [matemática] \ forall a \ in \ mathbb {S} [/ matemática]

(suponiendo que la relación “[math] = [/ math]” está restringida al conjunto [math] \ mathbb {S} [/ math])

Aproximadamente lo que dice este axioma es que existe un elemento [math] \ phi [/ math] en [math] \ mathbb {S} [/ math] que es “igual a todos los demás elementos del conjunto”, es decir, [math] a = \ phi [/ math] para todos [math] a \ in \ mathbb {S} [/ math]. Este axioma asegura la existencia de dicho elemento y, por lo que sabemos, puede ser único o no.

Ahora está bastante claro que [math] = (a, \ phi) [/ math] [math] \ & [/ math] [math] = (\ phi, c) \ not \ Rightarrow = (a, c) [/ matemáticas]

En resumen, la propiedad transitiva de la relación de igualdad no es verdadera debido a la intervención divina, es simplemente cómo elegimos definir la relación “[matemáticas] = [/ matemáticas]”.

[matemáticas] \ | \ psi \ | = \ sqrt {} [/ matemáticas]

Answer 2

Si a = b = c, entonces a = c es absolutamente cierto.

Vamos a revisar.

Sea a 10, b sea 12-2 y c sea 20-10.

Entonces, a = b = c,

10 = 12 – 2 = 20 – 10

Del mismo modo, a = c

10 = 20-10

Por lo tanto, probado.