Cómo resolver [matemáticas] 2 ^ x + 2x = 2 [/ matemáticas]

Answer 1

Primero resolvamos la siguiente ecuación para derivar una solución general a las ecuaciones de la forma sobre la que está preguntando:

[matemáticas] e ^ {ax} = cx + d [/ matemáticas]

Escribimos esto como:

[matemáticas] 1 = (cx + d) e ^ {- hacha} [/ matemáticas]

Entonces:

[matemáticas] – \ frac ac = \ left (-ax- \ frac {ad} {c} \ right) e ^ {- ax} [/ math]

Entonces:

[matemáticas] – \ frac ac e ^ {- \ frac {ad} {c}} = \ left (-ax- \ frac {ad} {c} \ right) e ^ {- ax- \ frac {ad} { c}} [/ matemáticas]

Ahora el propósito de toda esta manipulación algebraica es escribir el lado derecho de la ecuación en la forma [math] ue ^ u [/ math]. La razón por la que queremos escribirlo de esta forma es porque podemos aplicar la función Lambert W a ambos lados de la ecuación. La función Lambert W es la inversa de [math] ue ^ u [/ math] (y cuando existe, a veces es multivalor).

Entonces tenemos:

[matemática] W \ left (- \ frac ac e ^ {- \ frac {ad} c} \ right) = -ax- \ frac {ad} c [/ math]

Luego resolvemos que [math] x [/ math] salga:

[matemática] x = – \ frac 1a W \ left (- \ frac ac e ^ {- \ frac {ad} c} \ right) – \ frac d {c} [/ math]

---

Entonces, ¿cómo aplicamos este resultado a su pregunta? Tienes:

[matemáticas] 2 ^ x + 2x = 2 [/ matemáticas]

Podemos escribir esto como:

[matemáticas] e ^ {x \ ln 2} = – 2x + 2 [/ matemáticas]

Y vemos que su ecuación es exactamente de la forma para la que proporcioné la solución general. Dejamos que [math] a = \ ln 2 [/ math], [math] c = -2 [/ math] y [math] d = 2 [/ math]. Entonces la respuesta es:

[matemática] x = – \ frac 1 {\ ln 2} W \ izquierda (\ frac {\ ln 2} {2} e ^ {\ ln 2} \ derecha) +1 [/ matemática]

Simplificando los rendimientos:

[matemáticas] x = 1- \ frac {W \ izquierda ({\ ln 2} \ derecha)} {\ ln 2} [/ matemáticas]

Para argumentos en el intervalo [matemática] \ left (- \ frac 1e, 0 \ right) [/ math], la función Lambert W (valor real) es multivalor. Para argumentos no negativos, tiene un solo valor. (Para argumentos inferiores a [math] – \ frac 1e [/ math], la función con valor real no está definida.) Dado que [math] \ ln 2 \ ge 0 [/ math], se deduce que solo hay un valor real de [matemáticas] x [/ matemáticas] que resuelve su ecuación, y la hemos escrito en términos de Lambert W. La respuesta es irracional, pero su aproximación decimal es

[matemáticas] x \ aproximadamente 0.358814255495014 [/ matemáticas]

Pero la parte más interesante de la solución no es la respuesta final: es el procedimiento general para usar el Lambert W para resolver ecuaciones que involucran funciones exponenciales que se establecen como funciones lineales.

Answer 2

Dependiendo del grado de precisión que esté buscando, considere un enfoque gráfico.

Perdón por la captura de pantalla sin formato, pero de acuerdo con esta calculadora gráfica Desmos, la respuesta es ~ .3950.

Editar: Perdón por los absurdos nombres de archivos y carpetas en mi escritorio.

Answer 3

No creo que intentemos hacer esto usando álgebra.

Sugiero cambiar la ecuación a 2 ^ x = 2 – 2x

entonces podemos considerar que es la intersección de los gráficos y = 2 ^ x e y = 2 – x

Me gusta el programa AUTOGRAPH. Dibuje los dos gráficos, resáltelos y elija la opción “resolver f (x) = g (x)” para encontrar el punto de intersección como se muestra a continuación …

Answer 4

Todas estas preguntas podrían hacerse fácilmente mediante el análisis del gráfico de diferentes términos de la pregunta individualmente.

Tomemos 2 ^ x + 2x = 2 como 2 ^ x = 2–2x

ahora, haremos la gráfica de 2 ^ x y 2–2x en el mismo papel cuadriculado y veremos el punto de intersección. El punto de intersección nos dará la raíz o la solución requerida.

por ejemplo, la gráfica de 2 ^ x es: –

la gráfica de 2–2x es: –

ahora, colocaremos tanto el gráfico en un solo papel cuadriculado como los puntos de intersección.

Cuál es aproximadamente cerca de x = 0.32

Answer 5

Para comenzar, déjame señalarte en esta dirección:

La respuesta implicaría la función Lambert W

Solo para avisarle: la solución sería 1 – {LambertW. log2 / log2}