¿Cuál es el valor dedy / dx si y = sin ^ -1 ((a + b cos x) / (b + a cos x))?

Answer 1

Podemos resolver esto mediante la fuerza bruta usando la regla de la cadena.

Deje que [matemáticas] t = \ dfrac {a + b \ cos {(x)}} {b + a \ cos {(x)}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto, y = \ sin ^ {- 1} (t) [/ matemáticas]

=> [matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {1} {\ sqrt {1-t ^ 2}} * \ dfrac {dt} {dx} [/ matemáticas]

Encontremos [matemáticas] {1-t ^ 2} [/ matemáticas] y [matemáticas] \ dfrac {dt} {dx} [/ matemáticas] ahora.

[matemáticas] {1-t ^ 2} = 1 – (\ dfrac {a + b \ cos {(x)}} {b + a \ cos {(x)}}) ^ 2 [/ matemáticas]

=> [matemáticas] 1-t ^ 2 = \ dfrac {(b + a \ cos {(x)}) ^ 2- (a + b \ cos {(x)}) ^ 2} {(b + a \ cos {(x)}) ^ 2} [/ matemáticas]

=> [matemáticas] 1-t ^ 2 = \ dfrac {(b + a \ cos {(x)} + a + b \ cos {(x)}) (b + a \ cos {(x)} – ab \ cos {(x)})} {(b + a \ cos {(x)}) ^ 2} [/ math]

=> [matemáticas] 1-t ^ 2 = \ dfrac {(a + b) (1+ \ cos {(x)}) (ba) (1- \ cos {(x)})} {(b + a \ cos {(x)}) ^ 2} [/ matemáticas]

=> [matemáticas] 1-t ^ 2 = \ dfrac {\ sin ^ 2 {(x)} * (b ^ 2-a ^ 2)} {(b + a \ cos {(x)}) ^ 2} [/matemáticas]

=> [matemáticas] \ dfrac {1} {\ sqrt {1-t ^ 2}} = \ dfrac {(b + a \ cos {(x)})} {\ sin {(x)} * \ sqrt { b ^ 2-a ^ 2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {dt} {dx} = \ dfrac {(b + a \ cos {(x)}) * (- b \ sin {(x)}) – (a + b \ cos {(x) }) * (- a \ sin {(x)})} {(b + a \ cos {(x)}) ^ 2} [/ math]

=> [matemáticas] \ dfrac {dt} {dx} = \ dfrac {- (b ^ 2-a ^ 2) * \ sin {(x)}} {(b + a \ cos {(x)}) ^ 2} [/ matemáticas]

Sustituir estos de vuelta.

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {1} {\ sqrt {1-t ^ 2}} * \ dfrac {dt} {dx} [/ math]

=> [matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {(b + a \ cos {(x)})} {\ sin {(x)} * \ sqrt {b ^ 2-a ^ 2} } * \ dfrac {- (b ^ 2-a ^ 2) * \ sin {(x)}} {(b + a \ cos {(x)}) ^ 2} [/ math]

=> [matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {- \ sqrt {b ^ 2-a ^ 2}} {b + a \ cos {(x)}} [/ matemáticas]