Depende de lo que esté buscando lograr, pero si está preguntando sobre el problema o rompecabezas matemático típico (como en una Olimpiada matemática), entonces la respuesta es enfáticamente No.
Su objetivo al resolver una ecuación funcional es doble:
- Encuentra todas las soluciones
- Demuestre que esos son todos ellos.
En realidad, es bastante común que solo haya una solución única, y también es común que esta solución única sea casi obvia. Puede ser, por ejemplo, la función [matemáticas] f (x) = x [/ matemáticas]. Pero completar la segunda tarea, probar que esta es la única función que satisface los requisitos, es la parte difícil, a veces muy difícil.
Aquí hay un ejemplo típico.
- La factorización prima del intezer N es A x A x B x C, donde A, B y C son todos enteros distintos. ¿Cuántos factores tiene N?
- ¿Cómo podemos probar más allá de nuestra visión subjetiva del mundo que 1 + 1 = 2?
- ¿[Math] \ int_ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {n} (x) dx [/ math] es igual a [math] 0 [/ math]?
- ¿El inverso de [math] 2+ \ sqrt {2} [/ math] no está definido en [math] \ mathbb {Q} [\ sqrt {2}] [/ math]?
- ¿Cómo factorizar [matemáticas] 2 (9x ^ 2 + 10x-2) [/ matemáticas]?
Pregunta : encuentre todas las funciones [math] f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} [/ math] de modo que, para todas [math] x, y \ in \ mathbb {R} [/ math],
[matemáticas] f (x + y) + f (x) f (y) = f (x) + f (y) + f (xy) [/ matemáticas].
A medida que se acerca a resolver esto, una de las primeras cosas que puede hacer es tratar de encontrar algunas soluciones simples. ¿Podría [matemáticas] f [/ matemáticas] ser una constante? Si es así, es decir, si [math] f (x) = a [/ math] para todos [math] x [/ math], entonces
[matemáticas] a + a ^ 2 = 3a [/ matemáticas]
lo cual es cierto precisamente cuando [matemáticas] a = 0 [/ matemáticas] o [matemáticas] a = 2 [/ matemáticas]. Entonces ya tenemos dos soluciones. ¿Hay otros? Podemos probar la función de identidad [matemáticas] f (x) = x [/ matemáticas], y es bastante fácil ver que también funciona. Ambos lados de la ecuación se convierten en [matemáticas] x + y + xy [/ matemáticas].
¿Cualquier otro? Puede probar cosas como [math] f (x) = ax [/ math] o [math] f (x) = ax + b [/ math], pero encontrará que no surgen nuevas soluciones. Entonces ahora puedes formar un
Conjetura : las funciones que satisfacen la ecuación funcional son precisamente
- [matemáticas] f (x) = 0 [/ matemáticas]
- [matemáticas] f (x) = 2 [/ matemáticas]
- [matemáticas] f (x) = x [/ matemáticas]
¿Terminamos? Oh no. La mayor parte del problema todavía está por delante: necesitamos demostrar nuestra conjetura. Por ahora, lo dejaré como un ejercicio para el lector, pero el punto es este: formar la conjetura generalmente es solo el primer paso de la solución completa.