La respuesta anterior es muy buena. Creo que se incluye el mismo contenido si la respuesta se proporciona en términos de la función beta incompleta regularizada (definida en términos de una forma integral más general), que también se calcula utilizando relaciones de recursión:
Función beta
La función beta incompleta , una generalización de la función beta, se define como
[matemáticas] {\ displaystyle \ mathrm {B} (x; \, a, b) = \ int _ {0} ^ {x} t ^ {a-1} \, (1-t) ^ {b-1 } \, \ mathrm {d} t. \!} [/ math]
- En una ecuación funcional, si una solución es obvia, ¿podemos verificarla y decir que esta es la solución?
- La factorización prima del intezer N es A x A x B x C, donde A, B y C son todos enteros distintos. ¿Cuántos factores tiene N?
- ¿Cómo podemos probar más allá de nuestra visión subjetiva del mundo que 1 + 1 = 2?
- ¿[Math] \ int_ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {n} (x) dx [/ math] es igual a [math] 0 [/ math]?
- ¿El inverso de [math] 2+ \ sqrt {2} [/ math] no está definido en [math] \ mathbb {Q} [\ sqrt {2}] [/ math]?
Para x = 1, la función beta incompleta coincide con la función beta completa. La relación entre las dos funciones es así entre la función gamma y su generalización, la función gamma incompleta.
La función beta incompleta regularizada (o la función beta regularizada para abreviar) se define en términos de la función beta incompleta y la función beta completa:
[matemáticas] {\ displaystyle I_ {x} (a, b) = {\ dfrac {\ mathrm {B} (x; \, a, b)} {\ mathrm {B} (a, b)}}. \ !}[/matemáticas]
La función beta incompleta regularizada es la función de distribución acumulativa de la distribución Beta, y está relacionada con la función de distribución acumulativa de una variable aleatoria X de una distribución binomial, donde la “probabilidad de éxito” es p y el tamaño de la muestra es n :
[matemáticas] {\ displaystyle F (k; n, p) = \ Pr (X \ leq k) = I_ {1-p} (nk, k + 1) = 1-I_ {p} (k + 1, nk ).}[/matemáticas]
Propiedades [ editar ]
[matemáticas] {\ displaystyle I_ {0} (a, b) = 0 \,} [/ matemáticas]
[matemáticas] {\ displaystyle I_ {1} (a, b) = 1 \,} [/ matemáticas]
[matemáticas] {\ displaystyle I_ {x} (a, 1) = x ^ {a} \,} [/ matemáticas]
[matemáticas] {\ displaystyle I_ {x} (1, b) = 1- (1-x) ^ {b} \,} [/ matemáticas]
[matemáticas] {\ displaystyle I_ {x} (a, b) = 1-I_ {1-x} (b, a) \,} [/ matemáticas]
[matemáticas] {\ displaystyle I_ {x} (a + 1, b) = I_ {x} (a, b) – {\ frac {x ^ {a} (1-x) ^ {b}} {aB ( a, b)}} \,} [/ matemáticas]
[matemáticas] {\ displaystyle I_ {x} (a, b + 1) = I_ {x} (a, b) + {\ frac {x ^ {a} (1-x) ^ {b}} {bB ( a, b)}} \,} [/ matemáticas]
En este caso, la integral dada se puede expresar en términos de una función beta incompleta regularizada o la función hipergeométrica:
Motor de conocimiento computacional
En términos de la función hipergeométrica, o en términos de la función beta incompleta regularizada: