¿El inverso de [math] 2+ \ sqrt {2} [/ math] no está definido en [math] \ mathbb {Q} [\ sqrt {2}] [/ math]?

Answer 1

Supongo que te refieres a la extensión de campo [math] \ displaystyle \ mathbb {Q} [\ sqrt {2}] = \ {a + b \ sqrt {2} \ mid a, b \ in \ mathbb {Q} \ }[/matemáticas].

La respuesta rápida es, por supuesto, está definida, este álgebra es un campo y, por lo tanto, contiene inversos multiplicativos para todos los elementos (distintos de cero).

El inverso de [math] \ displaystyle 2 + \ sqrt {2} [/ math] es [math] \ displaystyle 1 – \ frac {1} {2} \ sqrt {2} [/ math]. Puede verificar esto fácilmente al multiplicar estos números y ver que el resultado es [matemática] 1 [/ matemática].

La forma de encontrar este inverso es primero escribirlo como [math] \ displaystyle \ frac {1} {2+ \ sqrt {2}} [/ math] y luego multiplicar la parte superior e inferior de la fracción por el conjugado irracional de el denominador, a saber, [matemáticas] 2- \ sqrt {2} [/ matemáticas].

Answer 2

Por qué, el inverso es [matemática] {1 \ over2 + \ sqrt2} = {2- \ sqrt2 \ over (2+ \ sqrt2) (2- \ sqrt2)} = {2- \ sqrt2 \ over (2+ \ sqrt2) (2- \ sqrt2)} = {2- \ sqrt2 \ over2} = 1- {1 \ over2} \ sqrt2 [/ math], que está bastante bien definido en $ \ mathbb Q [\ sqrt2] $.

Answer 3

En primer lugar, la terminología: un elemento en un anillo tiene una inversa o no. El adjetivo “indefinido” no es el correcto para aplicar.

De hecho, el anillo [math] \ mathbb {Q} [\ sqrt {2}] [/ math] es un campo. Todos los elementos, excepto [matemática] 0 [/ matemática] son ​​invertibles, y la prueba de hecho se basa en el hecho de que [matemática] a ^ 2-2b ^ 2 \ neq 0 [/ matemática] para cualquier [matemática] racional, a [ / math], que es otra forma de decir que [math] \ sqrt {2} [/ math] es irracional.

Parece que le preocupa que esta expresión sea [matemáticas] 0 [/ matemáticas] para [matemáticas] a = 2, b = 1 [/ matemáticas], pero, por supuesto, no lo es.