¿[Math] \ int_ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {n} (x) dx [/ math] es igual a [math] 0 [/ math]?

Answer 1

No. No es cero. Si n es par, entonces [math] \ sin ^ n (x)> 0 [/ math] en casi todas partes, por lo que la integral no puede ser 0.

Entonces, ¿qué salió mal con tu enfoque?

En primer lugar, dejarlo en la forma [math] \ int \ frac {\ tan (x)} {n} dy [/ math] no es útil. [matemática] x [/ matemática] depende de [matemática] y [/ matemática], por lo que debe escribirla en función de [matemática] y [/ matemática].

[matemáticas] \ sin ^ n (x) = y \ implica x = \ arcsin (\ sqrt [n] {y}) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ tan (\ arcsin (u)) = \ frac {u} {\ sqrt {1-u ^ 2}} [/ matemáticas]

Entonces

[matemáticas] \ tan (x) = \ frac {\ sqrt [n] {y}} {\ sqrt {1- \ sqrt [n] {u} ^ 2}} [/ matemáticas]

Por lo tanto, la integral es en realidad

[matemáticas] \ int \ frac {\ sqrt [n] {y} dy} {n \ sqrt {1- \ sqrt [n] {u} ^ 2}} [/ matemáticas]

Está bien, pero ¿qué pasa con los límites? ¡Ahí es donde tienes un problema!

Cuando use la sustitución para evaluar una integral, debe tener cuidado con su función [matemática] y (x) [/ matemática] y cómo cambia sus límites de integración. La verdadera regla para la sustitución se parece más a esto:

[matemáticas] \ int_a ^ bf (x) dx = \ int_ {y ^ {- 1} ([a, b])} f (y (x)) | y ‘(x) | dx [/ matemáticas]

Si [math] y [/ math] es monótono, las cosas son mucho más fáciles, pero su [math] y [/ math] no es monotónico. Muchos profesores de cálculo te dirán que la sustitución solo funciona con funciones monótonas. No es verdad. Es más fácil de esa manera.

En su caso, [math] y ^ {- 1} ([0, \ pi]) [/ math] es realmente una ruta de 0 a 1 y viceversa.

Por lo tanto

[matemáticas] \ int_0 ^ {\ pi} \ sin ^ n (x) dx = 2 \ int_0 ^ 1 \ frac {\ sqrt [n] {y} dy} {n \ sqrt {1- \ sqrt [n] { u} ^ 2}} [/ matemáticas]

Esto no es exactamente más fácil de integrar, pero es cierto.

Si quieres saber cuál es la respuesta en general:

[matemáticas] \ int_0 ^ {\ pi} \ sin ^ n (x) dx [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {\ sqrt {\ pi} \ Gamma (\ frac {n + 1} {2})} {\ Gamma (\ frac {n} {2})} [/ math]

Y esto se cumple cuando la parte real de n es mayor que -1. De lo contrario, la integral diverge.

Si no está familiarizado con la función gamma:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/…

Answer 2

[matemática] \ sin (x) \ ge 0 [/ matemática] para todas las x entre [matemática] x \ en [0, \ pi] [/ matemática]. Por lo tanto, [math] sin ^ n (x) \ ge 0 [/ math] para [math] x \ in [0, \ pi]. [/ math] Como la función es positiva sobre el dominio, la integral debe ser positiva.

Answer 3

Para empezar, sabemos que para valores de [matemáticas] n = 2,4,6 .. [/ matemáticas], etc., la afirmación no es verdadera.

Tenemos que encontrar un error en su razonamiento:

En la última declaración, ha implicado:

[matemáticas] \ int_ {a} ^ {a} f (x) dx = 0 [/ matemáticas]

Así:

[matemáticas] I = \ int_ {0} ^ {0} \ frac {\ tan (x) dy} {n} = 0 [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que la expresión diferencial anterior no está en su forma separable variable.

No es posible integrar tal expresión.

Tu primera afirmación es cierta. Pero sin embargo, [math] \ tan {x} .dy [/ math] no tiene sentido.

Answer 4

Con esta fórmula que creé puedes calcular cualquier integral que desees. Solo dale números a n.