Si hablamos de la definición axiomática de los números reales, entonces no hay realmente nada que probar.
La definición establece que las operaciones de sumar, generalmente simbolizadas con el símbolo +, y multiplicar, simbolizadas con el símbolo *, están bien definidas para dos números reales y siempre nos darán un número real. El número [math] 1 [/ math] se define por su propiedad de que para cualquier número real [math] x [/ math] contiene que [math] 1 * x = x * 1 = x [/ math]. De manera similar, el número [matemático] 0 [/ matemático] está definido por la propiedad de que para cualquier número real [matemático] x [/ matemático] contiene que [matemático] x + 0 = 0 + x = x [/ matemático].
La ecuación [matemáticas] 1 + 1 = 2 [/ matemáticas] es, de hecho, la definición del número [matemáticas] 2 [/ matemáticas]. Lo único que puede no ser obvio al principio es que [matemática] 2 [/ matemática] no es igual a [matemática] 1, [/ matemática] ni [matemática] 0 [/ matemática]. Sin embargo, ambos se pueden probar (o refutar, si lo desea) con bastante facilidad. Primero, supongamos que [matemáticas] 2 [/ matemáticas] es igual a [matemáticas] 1 [/ matemáticas]. Que para cualquier número real x podemos escribir:
[matemáticas] 2 * x = 1 * x
(1 + 1) * x = 1 * x [/ matemáticas]
- ¿[Math] \ int_ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {n} (x) dx [/ math] es igual a [math] 0 [/ math]?
- ¿El inverso de [math] 2+ \ sqrt {2} [/ math] no está definido en [math] \ mathbb {Q} [\ sqrt {2}] [/ math]?
- ¿Cómo factorizar [matemáticas] 2 (9x ^ 2 + 10x-2) [/ matemáticas]?
- ¿Qué es un álgebra no conmutativa?
- ¿Cuál es el valor dedy / dx si y = sin ^ -1 ((a + b cos x) / (b + a cos x))?
Utilizamos la ley de distribución y la propiedad del número [math] 1 [/ math].
[matemáticas] x + x = x [/ matemáticas]
Ahora agregamos el número [math] (- x) [/ math] a ambos lados.
[matemáticas] x + x + (- x) = x + (- x) [/ matemáticas]
Pero de acuerdo con la definición [matemáticas] x + (- x) = 0 [/ matemáticas].
[matemáticas] x + 0 = 0 [/ matemáticas]
Finalmente, usamos la propiedad del número [math] 0 [/ math].
[matemáticas] x = 0 [/ matemáticas]
Entonces concluimos que si [matemáticas] 2 [/ matemáticas] es igual a [matemáticas] 1 [/ matemáticas], cualquier número real debe ser necesariamente igual a [matemáticas] 0 [/ matemáticas], lo cual no es cierto.
Una vez más, supongamos que el número [matemáticas] 2 [/ matemáticas] es igual a [matemáticas] 0 [/ matemáticas]. Luego, para cualquier número real x podemos escribir:
[matemáticas] 2 * x = 0 * x [/ matemáticas]
Reescribiremos los números [matemática] 2 [/ matemática] y [matemática] 0 [/ matemática].
[matemáticas] (1 + 1) * x = (1 + (- 1)) * x [/ matemáticas]
Nuevamente, usamos la ley de distribución y la propiedad del número [math] 1 [/ math].
[matemáticas] x + x = x + (- 1) * x [/ matemáticas]
Ahora agregamos el nuber [math] (- x) [/ math] a ambos lados y usamos la propiedad de él y del nuber [math] 0 [/ math].
[matemáticas] x = (- 1) * x [/ matemáticas]
Esto debe ser válido para cualquier número real [matemática] x, [/ matemática] incluso para un nuber que no es igual a [matemática] 0 [/ matemática] y, por lo tanto, tiene inversa multiplicativa [matemática] (x ^ -1) [/ matemática ] para el cual sostiene que [math] x * (x ^ -1) = (x ^ -1) * x = 1 [/ math]. Multiplicamos ambos lados de la ecuación por este inverso multiplicativo.
[matemáticas] x * (x ^ -1) = (- 1) * x * (x ^ -1)
1 = (- 1) * 1
1 = (- 1) [/ matemáticas]
Ahora concluimos que si [matemática] 2 [/ matemática] es igual a [matemática] 0 [/ matemática] entonces [matemática] 1 [/ matemática] debe ser igual a [matemática] (- 1) [/ matemática], que Tampoco es cierto. Esto significa que hemos encontrado un nuevo número real, lo llamaremos [matemática] 2 [/ matemática] y se definirá por su propiedad que [matemática] 1 + 1 = 2 [/ matemática].