Cómo diferenciar [matemáticas] \ mid x \ mid ^ {p} [/ math]

Answer 1

En primer lugar, si [math] p = 0 [/ math], la función es constante y su derivada es cero.

Si [matemática] p \ ne 0 [/ matemática], para [matemática] x> 0 [/ matemática], la función [matemática] \ lvert x \ rvert ^ p [/ matemática] es igual a [matemática] x ^ p [/ math], y por lo tanto tiene la derivada [math] px ^ {p-1} [/ math] (suponiendo que se está diferenciando con respecto a [math] x [/ math]).

Para [matemática] x <0 [/ matemática], [matemática] \ lvert x \ rvert ^ p = (-x) ^ p [/ matemática], y puede usar la regla de la cadena. Diferenciar con respecto a [matemáticas] x [/ matemáticas] es lo mismo que diferenciar con respecto a [matemáticas] -x [/ matemáticas] y extraer un signo menos, de modo que la derivada de [matemáticas] (- x) ^ p [/ math] es igual a [math] -p (-x) ^ {p-1} = -p \ lvert x \ rvert ^ {p-1} [/ math].

Tenga en cuenta que esto también muestra que la función no es diferenciable en [matemática] x = 0 [/ matemática] para [matemática] p \ ne 0 [/ matemática], porque las derivadas izquierda y derecha existen pero son desiguales.

Answer 2

La regla de la cadena funciona bien aquí.

La derivada de la función de valor absoluto es la función de signo con 0 eliminado, donde y = -1 si [matemática] x <0, y = 1 [/ matemática] si [matemática] x> 0 [/ matemática], y no definida en [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas]. Puede probar escribiendo el valor absoluto como una función de pieza o reescribiéndolo como [math] (x ^ 2) ^ {1/2} [/ math] La derivada se puede escribir como [math] \ frac {| x | } {x} [/ matemáticas].

Por lo tanto, su derivada final es [matemáticas] p | x | ^ {p-1} \ frac {| x |} {x} [/ matemáticas]. Debería existir en todas partes excepto en [math] x = 0 [/ math].

Answer 3

[matemáticas] | x | = \ begin {ecuación} \ begin {cases} x & x \ geq 0 \\ – x & x <0 \ end {cases} \ end {ecuación} [/ math]

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[matemáticas] | x | ‘= \ begin {ecation} \ begin {cases} 1 & x \ geq 0 \\ – 1 & x <0 \ end {cases} \ end {ecuación} [/ math]

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[matemáticas] \ dfrac {d} {dx} [| x | ^ p] = \ begin {ecation} \ begin {cases} px ^ {p-1} & x \ geq 0 \\ – px ^ {p-1 } & x <0 \ end {casos} \ end {ecuación} [/ math]