¿Cuál sería una forma intuitiva de ver que esta expresión matemática: | x | ^ 2 + (y – | x | ^ (2/3)) ^ 2 = 1 se traza como un corazón?

Answer 1

Básicamente es un círculo [matemática] x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 [/ matemática] o [matemática] (x + h) ^ 2 + (y + k) ^ 2 = r ^ 2 [/ matemática]

• el valor absoluto alrededor de la primera [matemática] x [/ matemática] no es necesario
• ^ [matemáticas] (2/3) [/ matemáticas] tampoco es realmente necesario, tiene forma de corazón con o sin él

[matemáticas] x ^ 2 + (y- | x |) ^ 2 = 1 [/ matemáticas]

El radio siempre es uno y [matemática] h [/ matemática] es siempre cero y [matemática] k = | x | [/ matemática]

Entonces tienes un círculo con radio uno y centro [matemática] 0, | x | [/ matemática]

Puedes imaginar esto así

1. tome un círculo con radio uno y póngalo en una hoja de papel cuadriculado centrada en [matemáticas] 0, k [/ matemáticas]
2. marque los puntos donde la línea [matemáticas] | x | [/ matemáticas] [matemáticas] = k [/ matemáticas] intercepta el círculo

En cierto modo, sería como trazar un círculo mientras se movía

• si [matemática] x = 0 [/ matemática], el centro del círculo es [matemática] (0,0) [/ matemática] y tiene dos puntos en el círculo donde [matemática] | x | [/ matemática] [ matemáticas] = 0 [/ matemáticas]
• [matemáticas] (0,1) [/ matemáticas]
• [matemáticas] (0, -1) [/ matemáticas]
• si [matemática] | x | = 1 [/ matemática], el centro del círculo es [matemática] (0,1) [/ matemática] y tiene dos puntos en el círculo donde [matemática] | x | = 1 [ /matemáticas]
• [matemáticas] (1,1) [/ matemáticas]
• [matemáticas] (- 1, -1) [/ matemáticas]
• si [matemática] | x | = 0.5 [/ matemática], el centro del círculo es [matemática] (0,0.5) [/ matemática] y tiene cuatro puntos en el círculo donde [matemática] | x | = 0.5 [ /matemáticas]
• [matemáticas] (0.5,1.366) [/ matemáticas]
• [matemáticas] (0.5, -1.366) [/ matemáticas]
• [matemáticas] (- 0.5,1.366) [/ matemáticas]
• [matemáticas] (- 0.5, -1.366) [/ matemáticas]

Tal vez esto tenga sentido, tal vez no, pero para mí sí.

Answer 2

Dibuja un círculo en un cuaderno y obsérvalo desde dos ángulos diferentes:

En la vista derecha, los valores [math] y – [/ math] del círculo [math] \ color {red} {x ^ 2 + y ^ 2 = 1} [/ math] están distorsionados, haciendo que el círculo se vea como un corazón.

Entonces la ecuación del corazón

[matemáticas] \ color {rojo} {x ^ 2 + (y -} \ color {verde} {| x | ^ {\ frac {2} {3}}} \ color {rojo} {) ^ 2 = 1} [/matemáticas]

es solo un círculo distorsionado verticalmente:

y la distorsión es [matemática] \ color {verde} {y _ {\ text {shift}} = | x | ^ {\ frac {2} {3}}} [/ matemática]

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Función distorsionadora alternativa

Podemos usar un seno absoluto para distorsionar el círculo:

[matemáticas] \ color {rojo} {x ^ 2 + (y -} \ color {verde} {| \ sin (\ frac {\ pi} {2} x) |} \ color {rojo} {) ^ 2 = 1} [/ matemáticas]

Answer 3

No hay uno La intuición humana no es buena para convertir ecuaciones en imágenes. Usualmente usamos computadoras para hacerlo o, si esa no es una opción, lo aproximamos trazando algunos puntos y conectando los puntos “sin problemas”.

Dicho esto, veamos qué podemos hacer. Cada aparición de x está en | x |, por lo que sabemos que el gráfico es simétrico con respecto al eje y. Por lo tanto, solo veremos x positivo por ahora.

Si x> 1, x ^ 2> 1 y la ecuación no puede ser verdadera, entonces podemos ver solo el intervalo [0,1] para x.

en x = 0, y = -1 o 1.

En x = 1, y = 0.

Deje que [matemáticas] F (x, y) = x ^ 2 + (yx ^ {2/3}) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {dF (x, y)} {dx} = 2x-2 (yx ^ {2/3}) * \ frac {2} {3x ^ {1/3}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {dF (x, y)} {dy} = 2 (yx ^ {2/3}) [/ matemáticas]

Por diferenciación implícita, a lo largo de la curva [matemáticas] F (x, y) = 1 [/ matemáticas], obtenemos

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = – \ frac {(yx ^ {2/3})} {x- (yx ^ {2/3})} * \ frac {2} {3x ^ {1 / 3}} [/ matemáticas]

Ahora evaluamos en (0,1), (0, -1), (1,0) para obtener una idea inicial de la curva. Pero eso no es suficiente. Por lo tanto, necesitamos encontrar algunos puntos más para descubrir cómo se ve realmente la curva.

Es posible que ya haya notado que esto no es exactamente intuitivo. No hay una buena respuesta intuitiva y no puede esperar que la haya. Pasar de una ecuación a un gráfico no es un proceso intuitivo.