EDITAR: vea esta respuesta de Philip Gibbs, que es mucho mejor que la mía, pero no está lo suficientemente votada como para llegar a la cima.
Probemos algunos ejemplos más pequeños, ¿de acuerdo?
- Dado [matemática] 1!, 2! [/ Matemática] y [matemática] 3! [/ Matemática], no hay nada que pueda eliminar para hacer que el producto sea un cuadrado.
- Dado [math] 1!, 2!, 3!, 4! [/ Math], puede eliminar [math] 2! [/ Math] y quedar con [math] 1! \ Times 3! \ Times 4! = 144 [/ math] que es un cuadrado.
- Dado [matemáticas] 1!, \ Ldots, 5! [/ Matemáticas], nuevamente no hay nada que puedas hacer. Si dejas el [math] 5! [/ Math] tendrás un solo factor de 5 en el producto, por lo que no puede ser un cuadrado, y eliminar el [math] 5! [/ Math] no funciona ya sea.
- Con [matemáticas] 1 [/ matemáticas] a [matemáticas] 6 [/ matemáticas], nada funciona. Puede ver esto más fácilmente si verifica la cantidad de veces que [math] 2 [/ math] divide el producto: tiene solo [math] 2 [/ math] en [math] 2! [/ Math] y [math ] 3! [/ Matemáticas], tres [matemáticas] 2 [/ matemáticas] en cada una de [matemáticas] 4! [/ Matemáticas] y [matemáticas] 5! [/ Matemáticas], y cuatro [matemáticas] 2 [/ matemáticas] está en [matemáticas] 6! [/ matemáticas]. Ese es un número par de ellos en general, por lo que debes eliminar un factorial que también tenga un número par, y eso es solo el [math] 6 [/ math], que arruina los [math] 5 [/ math].
- Lo mismo con [matemáticas] 1 [/ matemáticas] a [matemáticas] 7 [/ matemáticas]. Nada que pueda hacer para guardar los [math] 7 [/ math] excepto quitar los [math] 7! [/ Math], pero eso le deja un número impar de [math] 3 [/ math].
- Con [math] 1 [/ math] a [math] 8 [/ math] estamos rodando de nuevo. Quitando las [matemáticas] 4! [/ Matemáticas] funciona. Lo mismo ocurre con [math] 3! [/ Math], pero en realidad no me di cuenta de eso, ya que es natural formar una conjetura simple en este punto:
Conjetura : para cualquier [matemática] n [/ matemática], multiplicando [matemática] 1! [/ Matemática] a [matemática] (4n)! [/ Matemática] mientras omite el término medio [matemática] (2n)! [/ Matemática ] produce un cuadrado perfecto.
Si eso es cierto, eliminar [math] 100! [/ Math] es la respuesta a la pregunta formulada. Pero es verdad?
- Cómo integrar [matemáticas] \ dfrac {x ^ {- n}} {x ^ 2 + 1} [/ matemáticas]
- En una ecuación funcional, si una solución es obvia, ¿podemos verificarla y decir que esta es la solución?
- La factorización prima del intezer N es A x A x B x C, donde A, B y C son todos enteros distintos. ¿Cuántos factores tiene N?
- ¿Cómo podemos probar más allá de nuestra visión subjetiva del mundo que 1 + 1 = 2?
- ¿[Math] \ int_ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {n} (x) dx [/ math] es igual a [math] 0 [/ math]?
La prueba [math] n = 3 [/ math] predice que multiplicar todos los factoriales por [math] 12! [/ Math] mientras se salta el [math] 6! [/ Math] produce un cuadrado, y lo hace. Así que ahora “sabemos” que debe ser cierto. Todo lo que queda es demostrarlo. Al llamar a este producto omitido de factoriales [math] A_n [/ math], tenemos que demostrar que [math] A_n [/ math] siempre es un cuadrado perfecto.
Una cosa que me mantuvo atrapado por un tiempo fue una lección aprendida de estos pequeños casos: es más fácil analizarlos de a uno por vez. Ese es un método muy común para demostrar que un número es un cuadrado, verificando que cada primo lo divida un número par de veces. Esto puede ser factible en el caso general, pero parece desagradable y terminé probando un enfoque diferente. A veces las pistas que aprendes al estudiar ejemplos son engañosas.
Al multiplicar todos estos factoriales, cada número se multiplica toneladas de veces. Estas calculando
[matemáticas] A_n = [/ matemáticas]
[matemáticas] 1 \ veces [/ matemáticas]
[matemáticas] 1 \ veces 2 \ veces [/ matemáticas]
[matemáticas] 1 \ veces 2 \ veces 3 \ veces [/ matemáticas]
… (Saltar fila [matemáticas] 2n [/ matemáticas]) …
[matemáticas] 1 \ veces 2 \ veces 3 \ veces \ ldots 4n [/ matemáticas]
Ignoremos la omisión por un segundo: ¿cuántas [matemáticas] 1 [/ matemáticas] hay aquí? [matemáticas] 4n [/ matemáticas] de ellos. ¿Y cuántos [matemática] 2 [/ matemática]? Tenga en cuenta que estoy contando el número de apariciones de un [matemático] 2 [/ matemático] explícito en este producto, no el número de veces que el primo [matemático] 2 [/ matemático] divide los términos. Hay un [matemático] 2 [/ matemático] en cada fila excepto el primero, así que hay [matemático] 4n-1 [/ matemático] en general. Y luego están [math] 4n-2 [/ math] [math] 3 [/ math] ‘s, y así sucesivamente.
Recuerde que foo times foo times bar es un cuadrado precisamente cuando bar es un cuadrado. Multiplicar cualquier cosa un número par de veces no cambia la cuadratura de un número. Entonces, lo único que nos importa es la paridad en la que aparece cada uno de esos términos.
Tal como está escrito, esta pirámide tiene un número par de cada número impar y un número impar de cada número par. Pero necesitamos eliminar la fila [matemática] 2n [/ matemática], ¿recuerdas? Esto no afecta la aparición de los números [matemática] 2n + 1 [/ matemática] y hacia arriba, pero cambia la paridad de cualquier cosa [matemática] 2n [/ matemática] y hacia abajo.
Entonces, nos quedan los números impares de [matemáticas] 1 [/ matemáticas] a [matemáticas] 2n-1 [/ matemáticas], y luego los números pares de [matemáticas] 2n + 2 [/ matemáticas] a [matemáticas] 4n [/ matemáticas].
Lo que acabamos de demostrar, un poco más formalmente, es que
[math] A_n = 1 \ times 3 \ times 5 \ times \ ldots \ times (2n-1) \ times [/ math]
[matemáticas] (2n + 2) \ veces (2n + 4) \ veces \ ldots \ veces (4n) \ veces M ^ 2 [/ matemáticas]
donde [matemáticas] M ^ 2 [/ matemáticas] es un cuadrado que no nos interesa (es el producto de todos estos grupos pares de términos). Todo lo que tenemos que mostrar es que [matemáticas] B_n [/ matemáticas], que es el resto de [matemáticas] A_n [/ matemáticas] es un cuadrado.
[math] B_n = 1 \ times 3 \ times 5 \ times \ ldots \ times (2n-1) \ times [/ math]
[matemáticas] (2n + 2) \ veces (2n + 4) \ veces \ ldots \ veces (4n) [/ matemáticas]
Este es un problema mucho mejor: en lugar de multiplicar factoriales, multiplicamos números directos.
Cuando [math] n = 1 [/ math], [math] B_n [/ math] es solo [math] 4 [/ math]. Ciertamente un cuadrado. ¿Cómo se pasa de [matemáticas] B_n [/ matemáticas] a [matemáticas] B_ {n + 1} [/ matemáticas]? Ganas otro número impar [matemáticas] 2n + 1 [/ matemáticas], pierdes el número par [matemáticas] 2n + 2 [/ matemáticas], y ganas dos pares más al final: [matemáticas] 4n + 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] 4n + 4 [/ matemáticas].
En general,
[matemáticas] B_ {n + 1} = B_n \ veces [/ matemáticas]
[matemáticas] (2n + 1) (4n + 2) (4n + 4) / (2n + 2) = [/ matemáticas]
[matemáticas] = B_n (2n + 1) 2 (2n + 1) 2 [/ matemáticas]
que es [matemática] B_n [/ matemática] por un cuadrado [matemática] (2 (2n + 1)) ^ 2 [/ matemática]. Esto muestra que si [math] B_n [/ math] es un cuadrado, también lo es [math] B_ {n + 1} [/ math], y usando inducción, cada [math] B_n [/ math] es un cuadrado perfecto. QED