¿Cuál es el número eliminado de [matemáticas] 1!, 2!, 3!,…, 200! [/ Matemáticas] de modo que el producto de los 199 números restantes sea un cuadrado perfecto?

EDITAR: vea esta respuesta de Philip Gibbs, que es mucho mejor que la mía, pero no está lo suficientemente votada como para llegar a la cima.

Probemos algunos ejemplos más pequeños, ¿de acuerdo?

  • Dado [matemática] 1!, 2! [/ Matemática] y [matemática] 3! [/ Matemática], no hay nada que pueda eliminar para hacer que el producto sea un cuadrado.
  • Dado [math] 1!, 2!, 3!, 4! [/ Math], puede eliminar [math] 2! [/ Math] y quedar con [math] 1! \ Times 3! \ Times 4! = 144 [/ math] que es un cuadrado.
  • Dado [matemáticas] 1!, \ Ldots, 5! [/ Matemáticas], nuevamente no hay nada que puedas hacer. Si dejas el [math] 5! [/ Math] tendrás un solo factor de 5 en el producto, por lo que no puede ser un cuadrado, y eliminar el [math] 5! [/ Math] no funciona ya sea.
  • Con [matemáticas] 1 [/ matemáticas] a [matemáticas] 6 [/ matemáticas], nada funciona. Puede ver esto más fácilmente si verifica la cantidad de veces que [math] 2 [/ math] divide el producto: tiene solo [math] 2 [/ math] en [math] 2! [/ Math] y [math ] 3! [/ Matemáticas], tres [matemáticas] 2 [/ matemáticas] en cada una de [matemáticas] 4! [/ Matemáticas] y [matemáticas] 5! [/ Matemáticas], y cuatro [matemáticas] 2 [/ matemáticas] está en [matemáticas] 6! [/ matemáticas]. Ese es un número par de ellos en general, por lo que debes eliminar un factorial que también tenga un número par, y eso es solo el [math] 6 [/ math], que arruina los [math] 5 [/ math].
  • Lo mismo con [matemáticas] 1 [/ matemáticas] a [matemáticas] 7 [/ matemáticas]. Nada que pueda hacer para guardar los [math] 7 [/ math] excepto quitar los [math] 7! [/ Math], pero eso le deja un número impar de [math] 3 [/ math].
  • Con [math] 1 [/ math] a [math] 8 [/ math] estamos rodando de nuevo. Quitando las [matemáticas] 4! [/ Matemáticas] funciona. Lo mismo ocurre con [math] 3! [/ Math], pero en realidad no me di cuenta de eso, ya que es natural formar una conjetura simple en este punto:

Conjetura : para cualquier [matemática] n [/ matemática], multiplicando [matemática] 1! [/ Matemática] a [matemática] (4n)! [/ Matemática] mientras omite el término medio [matemática] (2n)! [/ Matemática ] produce un cuadrado perfecto.

Si eso es cierto, eliminar [math] 100! [/ Math] es la respuesta a la pregunta formulada. Pero es verdad?

La prueba [math] n = 3 [/ math] predice que multiplicar todos los factoriales por [math] 12! [/ Math] mientras se salta el [math] 6! [/ Math] produce un cuadrado, y lo hace. Así que ahora “sabemos” que debe ser cierto. Todo lo que queda es demostrarlo. Al llamar a este producto omitido de factoriales [math] A_n [/ math], tenemos que demostrar que [math] A_n [/ math] siempre es un cuadrado perfecto.

Una cosa que me mantuvo atrapado por un tiempo fue una lección aprendida de estos pequeños casos: es más fácil analizarlos de a uno por vez. Ese es un método muy común para demostrar que un número es un cuadrado, verificando que cada primo lo divida un número par de veces. Esto puede ser factible en el caso general, pero parece desagradable y terminé probando un enfoque diferente. A veces las pistas que aprendes al estudiar ejemplos son engañosas.

Al multiplicar todos estos factoriales, cada número se multiplica toneladas de veces. Estas calculando

[matemáticas] A_n = [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 \ veces [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 \ veces 2 \ veces [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 \ veces 2 \ veces 3 \ veces [/ matemáticas]

… (Saltar fila [matemáticas] 2n [/ matemáticas]) …

[matemáticas] 1 \ veces 2 \ veces 3 \ veces \ ldots 4n [/ matemáticas]

Ignoremos la omisión por un segundo: ¿cuántas [matemáticas] 1 [/ matemáticas] hay aquí? [matemáticas] 4n [/ matemáticas] de ellos. ¿Y cuántos [matemática] 2 [/ matemática]? Tenga en cuenta que estoy contando el número de apariciones de un [matemático] 2 [/ matemático] explícito en este producto, no el número de veces que el primo [matemático] 2 [/ matemático] divide los términos. Hay un [matemático] 2 [/ matemático] en cada fila excepto el primero, así que hay [matemático] 4n-1 [/ matemático] en general. Y luego están [math] 4n-2 [/ math] [math] 3 [/ math] ‘s, y así sucesivamente.

Recuerde que foo times foo times bar es un cuadrado precisamente cuando bar es un cuadrado. Multiplicar cualquier cosa un número par de veces no cambia la cuadratura de un número. Entonces, lo único que nos importa es la paridad en la que aparece cada uno de esos términos.

Tal como está escrito, esta pirámide tiene un número par de cada número impar y un número impar de cada número par. Pero necesitamos eliminar la fila [matemática] 2n [/ matemática], ¿recuerdas? Esto no afecta la aparición de los números [matemática] 2n + 1 [/ matemática] y hacia arriba, pero cambia la paridad de cualquier cosa [matemática] 2n [/ matemática] y hacia abajo.

Entonces, nos quedan los números impares de [matemáticas] 1 [/ matemáticas] a [matemáticas] 2n-1 [/ matemáticas], y luego los números pares de [matemáticas] 2n + 2 [/ matemáticas] a [matemáticas] 4n [/ matemáticas].

Lo que acabamos de demostrar, un poco más formalmente, es que

[math] A_n = 1 \ times 3 \ times 5 \ times \ ldots \ times (2n-1) \ times [/ math]

[matemáticas] (2n + 2) \ veces (2n + 4) \ veces \ ldots \ veces (4n) \ veces M ^ 2 [/ matemáticas]

donde [matemáticas] M ^ 2 [/ matemáticas] es un cuadrado que no nos interesa (es el producto de todos estos grupos pares de términos). Todo lo que tenemos que mostrar es que [matemáticas] B_n [/ matemáticas], que es el resto de [matemáticas] A_n [/ matemáticas] es un cuadrado.

[math] B_n = 1 \ times 3 \ times 5 \ times \ ldots \ times (2n-1) \ times [/ math]

[matemáticas] (2n + 2) \ veces (2n + 4) \ veces \ ldots \ veces (4n) [/ matemáticas]

Este es un problema mucho mejor: en lugar de multiplicar factoriales, multiplicamos números directos.

Cuando [math] n = 1 [/ math], [math] B_n [/ math] es solo [math] 4 [/ math]. Ciertamente un cuadrado. ¿Cómo se pasa de [matemáticas] B_n [/ matemáticas] a [matemáticas] B_ {n + 1} [/ matemáticas]? Ganas otro número impar [matemáticas] 2n + 1 [/ matemáticas], pierdes el número par [matemáticas] 2n + 2 [/ matemáticas], y ganas dos pares más al final: [matemáticas] 4n + 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] 4n + 4 [/ matemáticas].

En general,

[matemáticas] B_ {n + 1} = B_n \ veces [/ matemáticas]

[matemáticas] (2n + 1) (4n + 2) (4n + 4) / (2n + 2) = [/ matemáticas]

[matemáticas] = B_n (2n + 1) 2 (2n + 1) 2 [/ matemáticas]

que es [matemática] B_n [/ matemática] por un cuadrado [matemática] (2 (2n + 1)) ^ 2 [/ matemática]. Esto muestra que si [math] B_n [/ math] es un cuadrado, también lo es [math] B_ {n + 1} [/ math], y usando inducción, cada [math] B_n [/ math] es un cuadrado perfecto. QED

Bueno, intenté una pregunta similar hace unos días. Así que solo compartiré este enfoque (ya que me emocioné al ver esta pregunta en quora).

Antes de compartir mi enfoque, me gustaría decir que siempre prefiero los números al álgebra. Entonces, mi primer intento en este tipo de preguntas siempre es numérico. Y siempre funciona.

La identidad que tenemos aquí es

1! * 2! * 3! * 4! *… 200!

Ahora, estamos intentando hacer de este un cuadrado perfecto. Pocas cosas que vale la pena señalar de inmediato:

  1. En un cuadrado perfecto, si una parte (en términos de factor) es un cuadrado perfecto, la otra parte también debería ser un cuadrado perfecto.
  2. Cualquier factorial tendrá un factorial más bajo como su factor.

Ahora rompamos nuestra identidad en los siguientes pares:

[matemáticas] 200! * 199! = 200 * (199!) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 198! * 197! = 198 * (¡197!) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 196! * 195! = 196 * (195!) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2! * 1! = 2 * (1!) ^ 2 [/ matemáticas]

Si multiplicamos todo esto, obtenemos:

[matemáticas] [(1!) ^ 2 * (3!) ^ 2 *… (199!) ^ 2] * (2 * 4 *… 200) [/ matemáticas]

Ahora, la primera parte (en el soporte de la caja) es definitivamente un cuadrado perfecto, por lo que el resto también debe ser un cuadrado perfecto.

Ahora, la segunda parte es

[matemáticas] 2 * 4 * .. 200 = [/ matemáticas] 2 ^ 100 [matemáticas] * 100! [/ matemáticas]

de los cuales 2 ^ 100 es un cuadrado perfecto.

¡Entonces, nos quedan 100!

Como se preguntó en la pregunta, deberíamos eliminar un factorial y el producto de los factoriales restantes debe ser un cuadrado perfecto. Por lo tanto, [math] (1! * 2! * 3! *… 200!) / N! [/ Math] debe ser un cuadrado perfecto.

Ahora, ya sabemos que en el numerador, ¡todo menos 100! Definitivamente es un cuadrado perfecto.

Por lo tanto, para que la identidad sea un cuadrado perfecto, nuestro objetivo debe ser hacer que [math] 100! / N! [/ Math] sea un cuadrado perfecto

¡Ahora, el número primo más alto en 100! es 97, lo que ocurre solo una vez en 100! Por lo tanto, debemos eliminar el 97, para obtener un cuadrado perfecto. Entonces, la ‘n’ debe ser al menos 97.

  1. Si dividimos 100! / 97 !, nos queda 98 * 99 * 100, que no es un cuadrado perfecto
  2. Si dividimos 100! / 98 !, nos queda 99 * 100, que no es un cuadrado perfecto
  3. Si dividimos 100! / 99 !, nos quedamos con 100, que es un cuadrado perfecto
  4. Si dividimos 100! / 100 !, nos queda 1, que es un cuadrado perfecto

Por lo tanto, hay dos posibilidades: ¡o podemos eliminar 99! o 100!

¡Hay una serie de respuestas en esta página que ya demuestran correctamente que 100! o 99! trabajo.

No volveré a cubrir este terreno, pero quiero hacer lo que nadie más parece haber hecho todavía, demostrando que estas son las soluciones únicas.

Para esto, observemos que tanto 97 como 101 son primos (los he elegido para verlos como los primos más cercanos a 100 en cada lado).

Desde la eliminación de 100! funciona, que contiene un factor único de 97 y ningún factor de 101, esto significa que cualquier n! que funciona debe contener un número impar de factores de 97 (por lo tanto, n debe ser al menos 97) y un número par de factores de 101 (por lo tanto, n debe ser menor que 101 o al menos tan grande como 202. Pero este último no está permitido dentro del rango en el que estamos trabajando …).

Por lo tanto, las únicas posibilidades son 97 !, 98 !, 99 !, y 100!

Ya sabemos (por otras respuestas) que los dos últimos funcionan. Por lo tanto, 98! funcionará si y solo si 99 es un cuadrado (que no lo es), y 97! funcionará si y solo si 99 * 98 es un cuadrado (que no lo es).

Y con eso, ¡vemos que 100! y 99! Son las soluciones únicas.

Tenga en cuenta que

[matemáticas] 1! \, 2! \, 3! \, \ cdots \, 200! = 1 \ times (1 \ times 2) \ times (1 \ times 2 \ times 3) \ times \ cdots \ times (1 \ times2 \ times \ cdots \ times 200). [/ Math]

Este producto tiene [matemática] 200 [/ matemática], [matemática] 199 [/ matemática] dos, [matemática] 198 [/ matemática] tres, [matemática] \ ldots [/ matemática], [matemática] 2 [/ matemática ] ciento noventa y nueve, y [matemáticas] 1 [/ matemáticas] doscientos. Entonces

[matemáticas] 1! \, 2! \, 3! \, \ cdots \, 200! = 1 ^ {200} 2 ^ {199} 3 ^ {198} \ cdots 199 ^ 2 \, 200 ^ 1. \ Qquad [*] [/ math]

El producto de los números pares en [matemática] [*] [/ matemática] es un cuadrado perfecto. Además, el producto de los números con potencia impar en el producto anterior también sería un cuadrado perfecto si sus poderes fueran uno menos de lo que están en [matemáticas] [*] [/ matemáticas]. Por lo tanto, reescribimos [matemáticas] [*] [/ matemáticas] como

[matemáticas] \ left (1 ^ {200} 2 ^ {198} 3 ^ {198} 4 ^ {196} 5 ^ {196} \ cdots 198 ^ 2 \, 199 ^ 2 \, 200 ^ 0 \ right) ( 2 \ times 4 \ times 6 \ times \ cdots \ times 200) = n ^ 2 (2 \ times 4 \ times 6 \ times \ cdots \ times 200) [/ math]

ya que el primer paréntesis es un cuadrado perfecto, al que llamamos [math] n ^ 2 [/ math].

Ahora

[matemáticas] 2 \ veces 4 \ veces 6 \ veces \ cdots \ veces 200 = 2 ^ {100} (1 \ veces 2 \ veces 3 \ veces \ cdots \ veces 100) = 2 ^ {100} 100! [/ matemáticas ]

y nuevamente [matemáticas] 2 ^ {100} [/ matemáticas] es un cuadrado perfecto. Entonces nos quedamos con:

[matemáticas] 1! \, 2! \, 3! \, \ cdots \, 200! = n ^ 2 \ times \ left (2 ^ {50} \ right) ^ 2 \ times 100!. [/ math]

Por lo tanto, eliminar [math] 100! [/ Math] de [math] 1! \, 2! \, 3! \, \ Cdots \, 200! [/ Math] hace que el producto [math] 1! \, 2! \, 3! \, \ Cdots \, 200! [/ Math] un cuadrado perfecto.

Agrupe los números en pares

[matemáticas] (1! 2!) (3! 4!)… (199! 200!) [/ ​​matemáticas]

[matemáticas] = (1! ^ 2 \ por 2) (3! ^ 2 \ por 4)… (199! ^ 2 \ por 200) [/ matemáticas]

[math] = (1! \ times 3! \ times… \ times 199!) ^ 2 \ times 2 ^ {100} \ times 100! [/ math]

¡Por lo tanto, es un número cuadrado multiplicado por 100! y se puede hacer un cuadrado sacando los 100! factor en el producto original. Sin embargo, ¡también podemos sacar 99! en cambio porque [matemáticas] 100! = 100 \ times 99! [/ Math] y [math] 100 [/ math] también es un cuadrado, por lo que hay dos soluciones.

Hay una fórmula sobre el número de factor [math] p [/ math] en [math] n! [/ Math] en teoría de números para cada primo [math] p [/ math], usa [math] [\ frac {n} {p ^ k}] [/ math] para cada entero positivo [math] k [/ math].

No es tan difícil encontrar esa fórmula o probarla. Muchos libros de texto universitarios con introducción a la teoría de números incluyen tal fórmula.

Intentemos reagrupar los números idénticos

[matemáticas] \ begin {align} \ displaystyle \ prod_ {n = 1} ^ {200} n! & = \ displaystyle \ prod_ {n = 1} ^ {200} \ displaystyle \ prod_ {k = 1} ^ nk \\ & = \ displaystyle \ prod_ {n = 1} ^ {200} \ displaystyle \ prod_ {k = n} ^ {200} n \\ & = \ displaystyle \ prod_ {n = 1} ^ {200} n ^ {200-n + 1} \\ & = \ displaystyle \ prod_ {n = 1} ^ {100} (2n) ^ {200-2n + 1} (2n-1) ^ {200-2n + 2} \\ & = \ displaystyle \ prod_ {n = 1} ^ {100} (2n) ^ {200-2n + 1} \ displaystyle \ prod_ {n = 1} ^ {100} (2n-1) ^ {2 (100-n + 1)} \\ & = \ displaystyle \ prod_ {n = 1} ^ {100} (2n ) (2n) ^ {200-2n} \ displaystyle \ prod_ {n = 1} ^ {100} ((2n-1) ^ {100-n + 1}) ^ 2 \\ & = 2 ^ {100} \ displaystyle \ prod_ {n = 1} ^ {100} n \ displaystyle \ prod_ {n = 1} ^ {100} (2n) ^ {2 (100-n)} \ displaystyle \ prod_ {n = 1} ^ {100 } ((2n-1) ^ {100-n + 1}) ^ 2 \\ & = 100! (2 ^ {50}) ^ 2 (\ displaystyle \ prod_ {n = 1} ^ {100} (2n) ^ {100-n} (2n-1) ^ {100-n + 1}) ^ 2 \\ & = 99! 10 ^ 2 (2 ^ {50}) ^ 2 (\ displaystyle \ prod_ {n = 1} ^ {100} (2n) ^ {100-n} (2n-1) ^ {100-n + 1}) ^ 2 \ end {align} [/ math]

Para que pueda obtener un cuadrado perfecto eliminando [math] 100! [/ Math] o [math] 99! [/ Math] del producto.

Tienes que eliminar [math] 99! [/ Math]. Mi intento anterior de ser inteligente falló por completo, así que usemos la fuerza bruta.

Podemos calcular la potencia más alta de [math] p [/ math] que divide [math] n! [/ Math] como [math] \ sum_ {i} \ lfloor \ frac {n} {p ^ i} \ rfloor [ /matemáticas]. Con una hoja de cálculo podemos hacer esto fácilmente para cada [matemática] n [/ matemática] de 2 a 200. Luego, el producto de todos esos factoriales [matemática] N = (200!) (199!) \ Cdots (2!) (1!) [/ ​​Math] es solo la suma de los poderes en cada uno de los números primos.

N tiene un exponente impar en 97 (y algunos números más pequeños), por lo que tendremos que eliminar uno de [math] 97! [/ Math], [math] 98! [/ Math], [math] 99! [/ Math ] o [matemáticas] 100! [/ matemáticas]. No puede ser [math] 101! [/ Math] o más grande porque cada factorial de [math] 101 [/ math] a [math] 200 [/ math] incluye [math] 101 [/ math] como factor solo una vez, entonces [math] 101 [/ math] tiene un poder par y eliminar un factorial mayor que [math] 100 [/ math] haría que sea impar. Probar cada una de las alternativas muestra que [math] 99! [/ Math] es el factorial correcto para eliminar.

[matemáticas] N / 99! = 2 ^ {19270} 3 ^ {9540} 5 ^ {4702} 7 ^ {3084} 11 ^ {1808} 13 ^ {1480} 17 ^ {1084} 19 ^ {960} 23 ^ {776} 29 ^ {594 } 31 ^ {552} 37 ^ {448} 41 ^ {392} 43 ^ {372} 47 ^ {332} 53 ^ {284} 59 ^ {248} 61 ^ {236} 67 ^ {200} 71 ^ {188 } 73 ^ {182} 79 ^ {164} 83 ^ {152} 89 ^ {134} 97 ^ {110} 101 ^ {100} 103 ^ {98} 107 ^ {94} 109 ^ {92} 113 ^ {88 } 127 ^ {74} 131 ^ {70} 137 ^ {64} 139 ^ {62} 141 ^ {60} 151 ^ {50} 157 ^ {44} 163 ^ {38} 167 ^ {34} 173 ^ {28 } 179 ^ {22} 181 ^ {20} 191 ^ {10} 193 ^ {8} 197 ^ {4} 199 ^ {2} [/ matemáticas]