Hay ciertos enteros positivos [matemática] k [/ matemática] para los que no se sabe si son una suma de tres cubos de enteros. El número más pequeño es [matemática] 33 [/ matemática]. Divertidamente, [matemáticas] 42 [/ matemáticas] también es una pregunta abierta.
El valor [matemática] k = 30 [/ matemática] permaneció sin resolver hasta 1999. Las soluciones encontradas, reportadas aquí, están muy lejos de ser obvias:
[matemáticas] 2220422932 ^ 3 – 283059965 ^ 3 – 2218888517 ^ 3 = 30 [/ matemáticas].
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Es fácil demostrar que si [math] k \ equiv 4 \ pmod {9} [/ math] o [math] k \ equiv 5 \ pmod {9} [/ math] entonces no es posible dicha representación, porque los cubos son [matemática] -1, 0 [/ matemática] o [matemática] 1 [/ matemática] módulo [matemática] 9 [/ matemática]. Se conjetura, pero no está probado, que cada [matemática] k [/ matemática] no excluida por esta simple condición es, de hecho, una suma de tres cubos.
Se pueden encontrar muchos datos sobre representaciones de números como sumas de tres cubos, por ejemplo, aquí. Las tablas en la parte inferior de la página contienen representaciones para todos los valores posibles y conocidos de [math] k [/ math] hasta 10,000.