Cómo resolver [matemáticas] x = a ^ x [/ matemáticas] para cualquier a real

Answer 1

La solución “más matemática”, si lo desea, parecería ser la que Barry Carter ya ha ofrecido. Si necesita soluciones complejas, también puede obtenerlas con Lambert W.

Otra forma de explorar esta ecuación es usar la calculadora gráfica Desmos. Ingresé la ecuación como la función [matemáticas] y = xa ^ x [/ matemáticas] y el software me preguntó si quería un ‘control deslizante’ para la constante [matemáticas] a [/ matemáticas]. Aquí está una de las muchas posibilidades.

Al pasar el cursor sobre los puntos grises puede ver las raíces, o el máximo, o el valor de [matemáticas] y [/ matemáticas] cuando [matemáticas] x [/ matemáticas] es [matemáticas] 0 [/ matemáticas]. Al variar [matemáticas] a [/ matemáticas] usando el control deslizante, es posible ver cuándo no hay soluciones reales y otras variaciones de la ecuación.

Answer 2

Otros ya te han señalado la solución, pero así es como la deduzco. Puede ser más intuitivo que algunas otras soluciones.

Suponiendo que [math] a \ in \ mathbb R ^ + [/ math]:

El objetivo siempre es reescribir como:

[matemáticas] f (x) e ^ {f (x)} = c [/ matemáticas]

Esto nos permite emplear el Lambert W, que es la función “inversa” de [math] ue ^ u [/ math] para transformar la ecuación en [math] f (x) = W (c) [/ math]. Pongo comillas inversas porque el Lambert W de valor real tiene un valor doble para [math] x \ in \ left (- \ frac 1e, 0 \ right) [/ math], y no existe para [math] x <- \ frac 1e [/ matemáticas]. Para todos los demás valores de [math] x \ in \ mathbb R [/ math], tiene un solo valor.

Comenzamos usando [math] a ^ x = e ^ {x \ ln a} [/ math] para obtener:

[matemáticas] x = e ^ {x \ ln a} [/ matemáticas]

Luego dividimos ambos lados por el exponencial para obtener todos los términos [math] x [/ math] en el mismo lado de la ecuación:

[matemáticas] xe ^ {- x \ ln a} = 1 [/ matemáticas]

Ahora, solo necesitamos multiplicar ambos lados por la constante correcta, [math] – \ ln a [/ math], para lograr la forma que necesitamos:

[matemáticas] (- x \ ln a) e ^ {- x \ ln a} = – \ ln a [/ matemáticas]

Entonces con [math] f (x) = – x \ ln a [/ math], hemos alcanzado la meta de [math] f (x) e ^ {f (x)} = c [/ math].

Luego usando Lambert W:

[matemáticas] -x \ ln a = W (- \ ln a) [/ matemáticas]

Y felizmente, el lado izquierdo tiene un inverso, por lo que obtenemos:

[matemáticas] x = – \ frac {W (- \ ln a)} {\ ln a} [/ matemáticas]

Ahora observe que si [math] a> \ sqrt [e] e [/ math] (de modo que [math] – \ ln a <- \ frac 1e [/ math]) no hay una solución real ya que Lambert W no es definido para este argumento. Si [math] a \ in (1, \ sqrt [e] e) [/ math], hay dos soluciones porque para los argumentos en este rango, el Lambert W tiene un valor doble. Para todos los demás [math] a> 0 [/ math], existe una solución real única.

Si está interesado en soluciones complejas y valores complejos de [matemáticas] a [/ matemáticas], también puede emplear el Lambert W, pero se lo dejaré a usted.

Answer 3

Si está buscando respuestas reales utilizando técnicas elementales, [matemáticas] a [/ matemáticas] tendrá que ser bastante pequeño pero positivo. Esto se debe a que [matemática] a ^ x [/ matemática] crece exponencialmente rápido y es estrictamente mayor que [matemática] x [/ matemática] para [matemática] x \ le 0 [/ matemática]. Si [math] x [/ math] no cumple [math] a ^ x [/ math] antes de que la derivada de [math] a ^ x [/ math] sea mayor que [math] 1 [/ math], [ matemáticas] a ^ x [/ matemáticas] y [matemáticas] x [/ matemáticas] divergirán para siempre. Jugando con esto en Wolfram | Alpha, descubrí que esto funcionará para cualquier [matemática] a \ le e ^ {1 / e} [/ matemática] positiva.

Para encontrar la solución, siempre puede conectarlo a algo en línea. O si desea hacerlo usted mismo, puede probar métodos numéricos. El método de Newton es bastante simple. Tendrá que usar una calculadora o programar un poco, pero puede hacerlo sin depender del solucionador de otra persona. Puede encontrar dos soluciones (a menos que [matemática] a = e ^ {1 / e} [/ matemática]) porque [matemática] x [/ matemática] golpeará [matemática] a ^ x [/ matemática] una vez cuando [matemática] a ^ x [/ math] tiene una derivada menor que uno, y nuevamente cuando tiene una derivada mayor que uno. Uno de estos será con [math] x \ le e [/ math] y uno con [math] x \ ge e [/ math].

Answer 4

Debemos usar la función Lambert W (Wikipedia, Mathworld), que resuelve [math] \ color {blue} {X} [/ math] en la siguiente ecuación:

[matemáticas] \ color {rojo} {Y} = \ color {azul} {X} e ^ {\ color {azul} {X}} [/ matemáticas]

flexible:

[matemáticas] \ color {azul} {X} = W (\ color {rojo} {Y}) [/ matemáticas]

En este problema [matemáticas] \ color {azul} {X} = \ color {azul} {- \ log (x)} [/ matemáticas]

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Elaboración:

[matemáticas] \ displaystyle \ large \ begin {align *} a ^ x & = x \\ x \ log {a} & = \ log {x} \\ \ log {(a)} & = \ log {(x) } \ frac1x \\ – \ log {(x)} \ frac1x & = – \ log {(a)} \\ \ color {blue} {- \ log {(x)}} e ^ {\ color {blue} {- \ log {(x)}}} & = \ color {rojo} {- \ log {a}} \\ \ color {azul} {- \ log {(x)}} & = W (\ color { rojo} {- \ log {a}}) \\ x & = e ^ {- W (- \ log {a})} \ end {align *} [/ math]

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Para llegar al formulario proporcionado por Wolfram Alpha, podemos usar:

[matemáticas] \ color {rojo} {Y} = W (\ color {rojo} {Y}) e ^ {W (\ color {rojo} {Y})} [/ matemáticas]

Llegar:

[matemáticas] \ displaystyle \ large \ begin {align *} x & = e ^ {- W (- \ log {a})} \\ \ frac1x & = e ^ {W (\ color {red} {- \ log {a}})} \\ W (\ color {red} {- \ log {a}}) \ frac1x & = W (\ color {red} {- \ log {a}}) e ^ {W (\ color {rojo} {- \ log {a}})} \\ W (\ color {rojo} {- \ log {a}}) \ frac1x & = \ color {rojo} {- \ log {a}} \ \ \ frac {W (\ color {red} {- \ log {a}})} {\ color {red} {- \ log {a}}} & = x \ end {align *} [/ math]

Answer 5

Si a> 0 [matemáticas] a = x ^ {1 / x} [/ matemáticas]

Que tiene un límite como x -> [matemática] {\ infty} [/ matemática] de 1 y un máximo de [matemática] e ^ {1 / e} [/ matemática] en x [matemática] = e [/ matemática]