Además de la respuesta ya dada, la integral en (la) pregunta se puede resolver con la ayuda de un software CAS o matemático como Mathematica, Maple. Máxima, etc.
Usando Mathematica y escribiendo:
Integrar [1 / Sqrt [1 – x ^ n], {x, 0, 1}]
la integración produce el siguiente resultado (para [math] (\ Re (n)> 0) [/ math]):
- Cómo resolver [matemáticas] x = a ^ x [/ matemáticas] para cualquier a real
- Cómo resolver una ecuación usando el principio de productos cero
- Cómo trazar la gráfica de y = || cosx-1 | -2 |
- ¿Cuál sería una forma intuitiva de ver que esta expresión matemática: | x | ^ 2 + (y – | x | ^ (2/3)) ^ 2 = 1 se traza como un corazón?
- ¿Cuál es el número eliminado de [matemáticas] 1!, 2!, 3!,…, 200! [/ Matemáticas] de modo que el producto de los 199 números restantes sea un cuadrado perfecto?
[matemáticas] \ displaystyle \ int_ 0 ^ 1 \ frac {1} {\ sqrt {1 – x ^ n}} \, dx \\ \ displaystyle = \ frac {\ sqrt {\ pi} \ Gamma \ left (1+ \ frac {1} {n} \ right)} {\ Gamma \ left (\ frac {1} {2} + \ frac {1} {n} \ right)} \\ \ displaystyle = \ frac {B \ left (\ frac {1} {2}, \ frac {1} {n} \ right)} {n} \\ = \ displaystyle \ frac {\ sqrt {\ pi} \ Gamma \ left (\ frac {1} { n} \ right)} {n \ Gamma \ left (\ frac {1} {2} + \ frac {1} {n} \ right)} [/ math]
En el resultado anterior, [math] \ Gamma [/ math] es la función Gamma, y [math] B (x, y) [/ math] es la función Beta relacionada con la función Gamma por la relación:
[matemáticas] {\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = {\ dfrac {\ Gamma (x) \, \ Gamma (y)} {\ Gamma (x + y)}} \!} [/ math ]
A continuación se muestra una gráfica de la solución a la integral dada para diferentes valores de [math] n [/ math] (hecho con Mathematica). Haga clic en la imagen a continuación para ampliarla:
El código de Mathematica para el gráfico anterior es:
Trazar [(Sqrt [\ [Pi]] Gamma [1 + 1 / n]) / Gamma [1/2 + 1 / n], {n, -8, 8},
PlotRange -> {-50, 50}, ImageSize -> Large,
TicksStyle -> Directiva [Rojo, Negrita]]
Para [math] \ displaystyle n = \ frac {1} {k} [/ math], con [math] k> 0 [/ math], la solución general a la integral es:
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ sqrt {\ pi} \ Gamma (k + 1)} {\ Gamma \ left (k + \ frac {1} {2} \ right)} [/ math]
y los valores obtenidos son números racionales que se pueden escribir como fracciones.
Los valores para [matemática] k = 1 [/ matemática] a [matemática] 20 [/ matemática] son los siguientes (obtenidos con Mathematica):
Además, refiriéndose a la imagen en la pregunta y para ser más precisos, la solución a la integral con el valor absoluto de la variable sería (obtenida con Mathematica):
[matemáticas] \ displaystyle \ int_ 0 ^ 1 \ frac {1} {\ sqrt {1 – \ left | z \ right | ^ n}} \, dz = [/ matemáticas]
[matemáticas] \ begin {cases} \ displaystyle – \ frac {\ sqrt {\ pi} \ Gamma \ left (1 + \ frac {1} {n} \ right)} {\ Gamma \ left (\ frac {1} {2} + \ frac {1} {n} \ right)} (\ Re (n) 0) \ end {cases} [/ matemáticas]
Tenga en cuenta que si bien Mathematica proporciona el resultado anterior, al verificar el valor numérico de la integral para diferentes valores de [math] n [/ math] se obtienen resultados valiosos complejos para [math] n <0 [/ math]. Por ejemplo, encontrar el valor de la integral para [matemática] n [/ matemática] entre [matemática] -5 [/ matemática] y [matemática] 5 [/ matemática] (con incrementos de [matemática] 1 [/ matemática]) escribiendo :
Tabla [Integrar [1 / Sqrt [1 – (Abs [x]) ^ n], {x, 0, 1}], {n, -5, 5}]
da el siguiente resultado:
Los resultados valorados complejos para [matemáticas] n <0 [/ matemáticas] también se pueden verificar con Maple. Esto se aplica a la variable de integración con y sin tomar el valor absoluto.
La solución a la integral indefinida es:
[matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {1} {\ sqrt {1 – x ^ n}} \, dx \\ \ displaystyle = x \, (_ 2 F_ 1 \ left (\ frac {1} {2} , \ frac {1} {n}; 1 + \ frac {1} {n}; x ^ n \ right)) [/ math]
[matemáticas] _ 2 F_ 1 (a, b; c; z) [/ matemáticas] es la función hipergeométrica.
La solución general a la integral definida para límites arbitrarios de integración [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] es (obtenida con la ayuda de Mathematica, con una serie de condiciones):
[matemáticas] \ displaystyle \ int_a ^ b \ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ n}} \, dx \\ \ displaystyle = b \, (_2F_1 \ left (\ frac {1} {2}, \ frac {1} {n}; 1+ \ frac {1} {n}; b ^ n \ right)) – a \, (_2F_1 \ left (\ frac {1} {2}, \ frac {1} {n}; 1+ \ frac {1} {n}; a ^ n \ right)), [/ math]
[matemáticas] ((\ Im (a) \ leq \ Im (b) \ land [/ math]
[matemáticas] (\ Im (a) \ geq 0 \ lor \ Re (a) \ Im (b) \ geq \ Im (a) \ Re (b) \ lor \ Im (b) \ leq 0)) \ lor (\ Im (a) \ geq \ Im (b) \ land \\ (\ Im (b) \ geq 0 \ lor \ Im (a) \ leq 0 \ lor \ Re (a) \ Im (b) \ leq \ Im (a) \ Re (b)))) \ land \\ \ left (\ frac {a} {ab} \ notin \ mathbb {R} \ lor \\ \ Re \ left (\ frac {a} { ab} \ right)> 1 \ lor \ left (a \ neq 0 \ land a ^ 2 \ neq ab \ land \ Re \ left (\ frac {a} {ba} \ right) \ geq 0 \ right) \ right )[/matemáticas]
[math] \ Im (a) [/ math] y [math] \ Re (a) [/ math] son respectivamente las partes imaginarias y reales de [math] a [/ math].