¿Cómo se encuentra la longitud del arco de [matemáticas] g (x) = x ^ 3 + \ frac {1} {12x} [/ matemáticas] para [matemáticas] 1 \ leq x \ leq 3 [/ matemáticas]?

Answer 1

Necesitamos encontrar la integral:

[matemáticas] \ displaystyle \ qquad \ int_1 ^ 3 \ sqrt {1 + (g ‘(x)) ^ 2} \, dx [/ math]

Primero, tomamos la derivada.

[matemáticas] \ qquad \ begin {align *} g (x) & = x ^ 3 + \ frac1 {12x} \\ g ‘(x) & = 3x ^ 2 – \ frac {1} {12x ^ 2} \ end {align *} [/ math]

Luego, encontramos [math] \ sqrt {1+ (g ‘(x)) ^ 2} [/ math].

[matemáticas] \ qquad \ begin {align *} (g ‘(x)) ^ 2 & = 9x ^ 4 – \ frac {2 \ cdot 3} {12} + \ frac {1} {144x ^ 4} \\ (g ‘(x)) ^ 2 + 1 & = 9x ^ 4 + \ frac {1} {2} + \ frac {1} {144x ^ 4} \\ (g’ (x)) ^ 2 + 1 & = (3x) ^ 2 + \ frac {2 \ cdot3x ^ 2} {12x ^ 2} + \ left (\ frac {1} {12x ^ 2} \ right) ^ 2 \\ & = \ left (3x ^ 2 + \ frac {1} {12x ^ 2} \ right) ^ 2 \\ \ sqrt {(g ‘(x)) ^ 2 +1} & = \ left | 3x ^ 2 + \ frac {1} {12x ^ 2} \ right | \\ & = 3x ^ 2 + \ frac {1} {12x ^ 2} \ end {align *} [/ math]

Entonces, nos integramos.

[matemáticas] \ qquad \ begin {align *} \ int_1 ^ 3 3x ^ 2 + \ frac {1} {12} x ^ {- 2} \, dx & = \ left. x ^ 3 – \ frac {1} {12x} \ right | _1 ^ 3 \\ & = \ left (3 ^ 3 – \ frac {1} {3 \ cdot 12} \ right) – \ left (1 – \ frac {1} {12} \ right) \\ & = \ frac {469} {18} \ end {align *} [/ math]

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Wolfram Alpha está de acuerdo:

Answer 2

La longitud del arco de [math] g [/ math] se define como

[matemáticas] s = \ displaystyle \ int _ {[1,3]} ds = \ int_1 ^ 3 \ sqrt {1+ \ left (\ frac {dg} {dx} \ right) ^ 2} dx [/ math]

Aquí tenemos

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {dg} {dx} = 3x ^ 2- \ frac {1} {12x ^ 2} = \ frac {36x ^ 4-1} {12x ^ 2} [/ matemáticas]

Esto nos da

[matemáticas] s = \ displaystyle \ int_1 ^ 3 \ sqrt {1+ \ left (\ frac {36x ^ 4-1} {12x ^ 2} \ right) ^ 2} dx [/ math]

Ahora solo calcule esta integral regular y obtendrá la longitud de arco de [math] g [/ math].