Cómo integrar [math] \ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {4}} \ ln (1+ \ tan (x)) dx [/ math]

Answer 1

Deje [math] I = \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ pi / 4} \ ln (1+ \ tan x) \, dx [/ math]. Sustituyendo [math] x = \ dfrac {\ pi} {4} -u [/ math] y usando la identidad [math] \ tan (AB) = \ dfrac {\ tan A – \ tan B} {1+ \ tan A \ tan B} [/ math], obtenemos

[matemáticas] I = – \ displaystyle \ int _ {\ pi / 4} ^ {0} \ ln (1+ \ tan (\ tfrac {\ pi} {4} -u)) \, du [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ pi / 4} \ ln (1+ \ tan (\ tfrac {\ pi} {4} -u)) \, du [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ pi / 4} \ ln \ left (1+ \ dfrac {\ tan \ tfrac {\ pi} {4} – \ tan u} {1 + \ tan \ tfrac {\ pi} {4} \ tan u} \ right) \, du [/ math]

[math] = \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ pi / 4} \ ln \ left (1+ \ dfrac {1 – \ tan u} {1 + \ tan u} \ right) \, du [/ math ]

[matemáticas] = \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ pi / 4} \ ln \ left (\ dfrac {2} {1 + \ tan u} \ right) \, du [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ pi / 4} \ left [\ ln 2 – \ ln (1 + \ tan u) \ right] \, du [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ pi / 4} \ ln 2 \, du – \ int_ {0} ^ {\ pi / 4} \ ln (1 + \ tan u) \, du [ /matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {\ pi} {4} \ ln 2 – I [/ matemáticas]

Como [math] I = \ dfrac {\ pi} {4} \ ln 2 – I [/ math], tenemos [math] 2I = \ dfrac {\ pi} {4} \ ln 2 [/ math], y por lo tanto, [math] I = \ dfrac {\ pi} {8} \ ln 2 [/ math].

Answer 2

Poner [matemáticas] x = \ frac {\ pi} {4} – t [/ matemáticas]

El integrando se convierte

[matemáticas] \ ln (1 + \ tan (\ frac {\ pi} {4} – t)) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ ln (1 + (\ frac {1 – \ tan t} {1 + \ tan t})) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ ln (\ frac {2} {1 + \ tan t}) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ ln2 – ln (1 + \ tan t) [/ matemáticas]

[matemáticas] I = \ frac {\ pi} {4} \ ln 2 – I [/ matemáticas]

[matemáticas] I = \ frac {\ pi} {8} \ ln 2 [/ matemáticas]