Cómo resolver una ecuación usando el principio de productos cero

Answer 1

Supongamos que tenemos un problema que indica que 28 menos que el cuadrado de un número es igual a tres veces el número, es decir, x ^ 2 – 28 = 3x. Si tratamos de resolver x directamente (quizás moviendo el 3x a través del signo igual, luego el -28) rápidamente nos quedamos atascados. Podríamos intentar graficar pero, por supuesto, está sujeto a problemas de visualización y redondeo.

Sin embargo, un hecho sobre los números reales es que si tiene un producto igual a 0, uno de los factores debe ser igual a 0. (Esto no es cierto en ciertos sistemas numéricos alternativos, como los enteros mod n donde n no es primo, pero la mayoría de la gente hace su álgebra en los reales.) Entonces, si “resolvemos por cero” y factorizamos el lado distinto de cero, uno de los factores debe ser igual a cero.

Primero resuelve para cero:

x ^ 2 – 3x – 28 = 0

Entonces factor:

(x-7) (x + 4) = 0

(nota: si esto no fuera fácilmente factorizable, ya que el lado izquierdo es cuadrático, podríamos usar la fórmula cuadrática para encontrar las raíces)

Ahora, por el ZPP, uno de los factores debe ser igual a 0, entonces x-7 = 0 (es decir, x = 7) o x + 4 = 0 (es decir, x = -4).

Por lo tanto, su conjunto de soluciones (sujeto, por supuesto, a la comprobación de la declaración del problema) es {-4, 7}.

Answer 2

Si está trabajando en un dominio integral, que es un anillo distinto de cero donde [math] ab = 0 \ implica (a = 0) \ lor (b = 0) [/ math], entonces puede aplicar este principio.

Por ejemplo, considere la ecuación polinómica [matemática] x ^ 2-3x + 2 = 0 [/ matemática].

Al usar la fórmula cuadrática y la división euclidiana, encontramos [matemáticas] X ^ 2-3X + 2 = (X-1) (X-2) [/ matemáticas].

Entonces [matemáticas] x ^ 2-3x + 2 = 0 \ iff (x-1) (x-2) = 0 [/ matemáticas]

Entonces, debido a que estamos en un dominio integral, es [matemática] x = 1 [/ matemática] o [matemática] x = 2 [/ matemática].

Esa es la clave: factorizar su ecuación [matemáticas] f (x) = 0 [/ matemáticas] en un producto [matemáticas] \ varphi_1 (x) \ ldots \ varphi_p (x) = 0 [/ matemáticas], entonces puede usar el hecho de que estás trabajando en un dominio integral.

[math] \ mathbb {N}, \ mathbb {Z}, \ mathbb {Q}, \ mathbb {R} [/ math] son ​​dominios integrales comunes, junto con [math] \ mathbb {Z} / p \ mathbb { Z} [/ math] cuando [math] p [/ math] es primo, por lo que cualquier otro anillo finito es isomorfo a eso (es decir, anillos finitos cíclicos que tienen un orden primo).

Answer 3

La propiedad del producto cero, nombre que solo se usa en un libro de texto de matemáticas, es cuando reorganiza un lado de la ecuación para que sea 0, luego factoriza el otro lado.

Digamos que tuviste

x ^ 2 + 4x = 12

Primero, resta 12 a ambos lados, para que tengas

x ^ 2 + 4x-12 = 0

Entonces factorízalo.

(x + 6) (x-2) = 0

(si uno de los multiplicadores no contiene x, entonces no importa, porque puede dividir cero entre él y cero seguirá siendo cero)

Esto significa que uno o ambos multiplicadores deben ser iguales a cero. Si ambos son cero, entonces tiene que ser cero, y si uno de ellos lo es, entonces multiplicado por el otro todavía sería igual a cero.

Entonces es x + 6 es cero, entonces x = -6.

Si x-2 es cero, entonces x = 2.

En una porabola, esto te da las intersecciones x.

(Estaba un poco chiflado al ver esto, porque acabo de aprender todo esto en la clase de matemáticas, y realmente no vi la importancia de esto, teniendo algunos, por supuesto, pero pasamos como 2 meses en un concepto bastante simple. Feliz. para usarlo)

Answer 4

Para verificar sus respuestas, puede sustituir ambos valores directamente en la ecuación original y ver si obtiene una oración verdadera para cada uno. Puedes usar el Principio de productos cero para resolver ecuaciones cuadráticas en la forma ax2 + bx + c = 0. Primero factoriza la expresión y establece cada factor igual a 0.

Ejemplo:

Primero, factoriza la ecuación a (4x-9) (x + 1) = 0

Luego haz 4x-9 = 0 y x + 1 = 0

Resolver y:

x = 9/4

x = -1

Ayuda matemática en línea