¿Es la distancia euclidiana la distancia más corta entre 2 puntos en todas las dimensiones?

Answer 1

Sí, es la distancia más corta en todas las dimensiones si hablamos de distancias simples.

En general, la respuesta es no. Esto depende de cómo haya definido la métrica de distancia y, en muchos casos, dos métricas de distancia ni siquiera son comparables. Hay tres propiedades básicas que una métrica de distancia debe satisfacer:

1. No negatividad: la distancia entre dos puntos no debe ser negativa y puede ser cero solo cuando ambos puntos son iguales, es decir, [matemática] d (A, B) \ geq 0 [/ matemática] y si [matemática] d ( A, B) = 0 [/ matemática] luego [matemática] A = B [/ matemática].
2. Simetría: la distancia entre el punto [matemáticas] A [/ matemáticas] a [matemáticas] B [/ matemáticas] debe ser igual a la distancia entre el punto [matemáticas] B [/ matemáticas] a [matemáticas] A [/ matemáticas] es decir [matemáticas ] d (A, B) = d (B, A) [/ matemáticas].
3. Desigualdad triangular: la distancia entre cualquiera de los dos puntos debe ser menor o igual que la suma de las distancias entre cualquier otro segmento de dos líneas que comience y termine en el mismo punto. es decir, [matemáticas] d (A, C) \ leq d (A, B) + d (B, C). [/ matemáticas]

Hay una gran cantidad de funciones que satisfacen las condiciones anteriores. Una de esas clases de funciones es una función de norma.

Supongamos que los vectores [matemática] X = [x_1, x_2, \ cdots, x_n] [/ matemática] y [matemática] Y = [y_1, y_2, \ cdots, y_n] [/ matemática] donde cada [matemática] x_i, y_i \ en R [/ math], entonces la clase de norma de distancia se define como

[matemáticas] Norma (X, Y) = \ left [(x_1-y_1) ^ p + (x_2-y_2) ^ p + \ cdots + (x_n-y_n) ^ p \ right] ^ {(\ frac {1} {p})} [/ matemáticas]

donde [math] p [/ math] puede tomar cualquier número mayor que cero. Para el valor de [matemática] p = 2 [/ matemática], es la distancia euclidiana.

Espero que ahora pueda ver que existe una gran clase de métricas de distancia y su utilidad depende de las aplicaciones.

Answer 2

Toma un globo. Dibuje una línea, no necesariamente una línea recta, entre el polo norte y el polo sur sobre la superficie del globo. ¿Cuántas líneas puedes dibujar? Ciertamente, infinitos números de líneas.

¿Cuál de ellos es el más corto? Seguramente la línea que se dibuja diametralmente, o podemos decir, que se dibuja a lo largo del “gran círculo” que pasa por el polo norte y el polo sur.

¿Es la superficie (del globo) tridimensional? Si.

¿Es la línea más corta recta? No, si ves la línea y el globo desde afuera? Sí, porque tú y el mundo están situados en un espacio tridimensional.

Es la línea circular más corta. Sí, si el globo es perfectamente esférico. ¿Es la tierra perfectamente esférica? No. ¿La superficie de la tierra es perfectamente lisa? No.

Considere la sombra de un avión que vuela del polo norte al polo sur. ¿La sombra sigue un camino puramente circular? No. La sombra sube y baja. Su camino es tan irregular como lo es la superficie de la tierra.

¿Es posible pensar en un camino aún más corto (del polo norte al polo sur)? Sí, perforando un “agujero” a través del globo, pasando por el centro del globo. ¿Es ese camino una línea recta? Si.

La distancia más corta entre dos puntos en una superficie plana es a lo largo de una línea recta que se encuentra en la superficie plana.

Considere una hormiga que no puede volar “por encima” de una superficie 2D que se le ha dado ni puede perforar agujeros o túneles “debajo * de la superficie”. La hormiga tiene que ir del punto A “en” la superficie a otro punto B “en” la superficie. Para llegar a B rápidamente, la hormiga debe ir “recta” a B desde A. Para la hormiga, el camino más corto es una línea “recta”, aunque Euclides no lo llamaría un camino recto. Podría encontrar un camino “aún más corto” que, para él, es “recto”. Si Euclides fuera una criatura 4-D, encontraría un camino aún más corto.

La distancia más corta entre dos puntos en una superficie no plana no es a lo largo de una recta euclidiana, sino a lo largo de la línea obtenida en la intersección de la superficie dada y un plano plano euclidiano, dibujado a través de A y B, “perpendicular” o normal a la superficie dada.

Answer 3

Es cierto para las dimensiones de un espacio euclidiano. No es cierto para espacios no euclidianos.