Monomios? Seguro.
Triángulo: [matemáticas] \ frac 1 2 bh [/ matemáticas]
Cuadrado: [matemáticas] s ^ 2 [/ matemáticas]
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Si [matemática] A [/ matemática], [matemática] B [/ matemática] y [matemática] C [/ matemática] son las distancias al cuadrado entre tres puntos colineales y no sabemos cuál es la pieza larga, tenemos
[matemáticas] \ pm \ sqrt {A} \ pm \ sqrt {B} = \ pm \ sqrt {C} [/ matemáticas]
Cuadratura,
[matemáticas] A + B \ pm 2 \ sqrt {AB} = C [/ matemáticas]
[matemáticas] \ pm 2 \ sqrt {AB} = CAB [/ matemáticas]
[matemáticas] 4AB = (CAB) ^ 2 [/ matemáticas]
De la misma manera, el Teorema de Pitágoras dice cuál es la relación entre los lados cuadrados en un triángulo rectángulo (en nuestra notación [matemática] C = A + B [/ matemática]) esta fórmula, llamada la fórmula del Triple Cuádruple, dice cuál es la relación está entre los lados cuadrados en el triángulo degenerado.
Debido a que comenzamos con todos los [math] \ pm [/ math] s, sabemos que esta expresión es simétrica: sigue siendo cierto cuando intercambiamos lados. Por ejemplo, [matemática] \ sqrt {1} + \ sqrt {1} = \ sqrt {4} [/ matemática] entonces [matemática] A = 1, B = 1, C = 4 [/ matemática] da [matemática] 4 (1) (1) = (4- 1- 1) ^ 2 \ quad \ marca de verificación [/ math] y [math] A = 4, B = 1, C = 1 [/ math] da [math] 4 ( 4) (1) = (1- 4- 1) ^ 2 \ quad \ marca de verificación. [/ Math]
Esto nos dice que hay una forma simétrica de la expresión que podemos buscar. Podríamos adivinar que involucrará [matemáticas] (A + B + C) ^ 2 [/ matemáticas], así que vamos a expandir eso:
[matemáticas] (A + B + C) ^ 2 = A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2 + 2 (AB + AC + BC) [/ matemáticas]
Volviendo a nuestra expresión de colinealidad. Dejar
[matemática] \ def \ A {\ matemática {A}} \ A = 4AB- (CAB) ^ 2 [/ matemática]
[matemáticas] \ A = 4AB – (A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2) + 2 (AC + BC – AB) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ A = 2 (AC + BC + AB) – (A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2) [/ matemáticas]
Ahora podemos sustituir [matemáticas] 2 (AB + AC + BC) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ A = ((A + B + C) ^ 2 – (A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2)) – (A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ A = (A + B + C) ^ 2 – 2 (A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2) [/ matemáticas]
[matemática] \ A = 0 [/ matemática] indica colinealidad, por lo que nuestra Fórmula triple cuádruple simétrica es
[matemáticas] (A + B + C) ^ 2 = 2 (A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2) [/ matemáticas]
En nuestro ejemplo, [math] (1 + 1 + 4) ^ 2 = 2 (1 + 1 + 16) \ quad \ checkmark [/ math]
Cuando salimos del reino de los triángulos degenerados a triángulos reales, descubrimos un hecho interesante sobre [matemáticas] \ A [/ matemáticas]. Es dieciseis veces el área cuadrada del triángulo:
[matemáticas] \ A = 16 (\ textrm {área}) ^ 2 = (A + B + C) ^ 2 – 2 (A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2) [/ matemáticas]
Es un polinomio, no un monomio, oh bueno.
Trigonometría Racional