El número máximo de partes en las que se puede dividir un círculo (o cualquier figura plana convexa) con n líneas rectas es [matemática] c (n) = 1 + \ dfrac {n (n + 1)} {2} [/ matemática ] .Para [matemáticas] n = 3 [/ matemáticas] que da [matemáticas] c (3) = 7 [/ matemáticas].
Así es como obtenemos esa fórmula. Considere primero el número [matemático] l (n) [/ matemático] de partes en las que un segmento de línea recta se puede dividir con n puntos. Obviamente es [math] l (n) = n + 1 [/ math]. Luego considere que una línea recta divide una figura plana convexa en dos partes (si la intersecta) o la deja indivisa (si no la intersecta). Si la figura se divide, las dos partes siguen siendo convexas (¿por qué? Porque son la intersección de una figura convexa y un semiplano, que también es una figura convexa; la intersección de dos figuras convexas es convexa) para que podamos repetir el mismo razonamiento para otra línea recta que intersecta esas partes, y así sucesivamente.
Comience con una figura convexa (por ejemplo, un círculo, pero cualquier figura convexa funcionará). Dividirlo con n-1 líneas rectas, siempre teniendo cuidado de obtener el número máximo de partes, lo que llamamos [matemáticas] c (n-1) [/ matemáticas]. Luego cruce la figura con una línea recta más. En esta enésima línea recta veremos lo siguiente:
- la sección de la figura original, que será un segmento de línea recta
- las trazas de las líneas rectas n-1 anteriores, que serán n-1 puntos
- las secciones de las partes intersectadas, que serán las partes en las que los trazos de las líneas anteriores dividen la sección de la figura original
Si posicionamos la enésima línea recta de la mejor manera posible, cruzaremos [matemáticas] l (n-1) = n [/ matemáticas] partes, porque [matemáticas] l (n-1) = n [/ matemáticas ] es el número máximo de partes en las que se puede dividir un segmento de línea recta con n-1 puntos. Así que intersectamos [matemáticas] n [/ matemáticas] partes y dejamos [matemáticas] c (n-1) – n [/ matemáticas] partes indivisas, obteniendo un total de [matemáticas] c (n) = 2n + c (n- 1) – n = c (n-1) + n [/ matemáticas] partes.
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Comenzando con [matemáticas] c (0) = 1 [/ matemáticas] (con líneas cero la figura original permanece en una sola pieza) y utilizando la ecuación recursiva [matemáticas] c (n) = c (n-1) + n [/ math] obtenemos: [math] c (n) = 1 + \ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ ni = 1 + \ dfrac {n (n + 1)} {2} [/ math].
Podemos generalizar este problema a un mayor número de dimensiones. Digamos que queremos encontrar el número máximo [math] s (n) [/ math] de partes en las que una figura convexa tridimensional (por ejemplo, una esfera) se puede dividir con n planos. Primero dividamos la figura en partes [matemáticas] s (n-1) [/ matemáticas] con n-1 planos, luego apliquemos el enésimo plano. En el enésimo plano veremos:
- la sección de la figura convexa tridimensional original, que tendrá una figura convexa bidimensional
- las trazas de los planos n-1 anteriores, que serán n-1 líneas rectas
- las secciones de las partes intersectadas, que serán las partes en las que los trazos de los planos anteriores dividen la sección de la figura original
Acabamos de ver que el número máximo de tales partes es [matemática] c (n-1) = 1 + \ dfrac {(n-1) n} {2} [/ matemática]. Entonces obtenemos la ecuación recursiva:
[matemáticas] s (n) = s (n-1) + c (n-1) = s (n-1) + 1 – \ dfrac {n} {2} + \ dfrac {n ^ 2} {2} [/matemáticas]
que, junto con la condición inicial [matemática] s (0) = 1 [/ matemática], da:
[matemáticas] s (n) = 1 + \ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ n 1 – \ dfrac {1} {2} \ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ ni + \ dfrac {1} {2} \ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ ni ^ 2 = 1 + \ dfrac {n ^ 3 + 5n} {6} [/ math].
Y así sucesivamente para mayores dimensiones.