Si [math] d [/ math] = distancia entre circuncentro e incentivo, entonces la siguiente relación es verdadera.
[matemáticas] \ dfrac {1} {Rd} + \ dfrac {1} {R + d} = \ dfrac {1} {r} [/ matemáticas]
En el caso dado, tenemos [math] d = r [/ math],
[math] \ Rightarrow [/ math] [math] \ dfrac {1} {Rr} + \ dfrac {1} {R + r} = \ dfrac {1} {r} [/ math]
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[math] \ Rightarrow [/ math] [math] \ dfrac {2R} {R ^ 2-r ^ 2} = \ dfrac {1} {r} [/ math]
[matemática] \ Rightarrow [/ matemática] [matemática] 2Rr = R ^ 2-r ^ 2 [/ matemática]
Dividiendo a lo largo de [matemáticas] Rr [/ matemáticas], obtenemos
[matemáticas] 2 = \ dfrac {R} {r} – \ dfrac {r} {R} [/ matemáticas]
Deje [math] \ dfrac {R} {r} = x [/ math]
entonces, [matemáticas] x – \ dfrac {1} {x} = 2 [/ matemáticas]
[matemática] \ Rightarrow [/ matemática] [matemática] x ^ 2 – 2x – 1 = 0 [/ matemática]
Al resolver lo anterior, obtendrá [math] x = 1 \ pm \ sqrt2 [/ math]
Pero la relación de dos distancias tiene que ser positiva, por lo que concluimos [matemáticas] x = 1+ \ sqrt2 [/ matemáticas]
Es decir, la proporción requerida [matemática] \ dfrac {R} {r} = \ sqrt2 + 1 [/ matemática]