¿Cómo determinar si una línea es paralela a un plano? ¿Cuáles son algunos ejemplos?

Answer 1

La manera más fácil:

Considere un plano [matemático] ax + por + cz + d = 0 [/ matemático] donde [matemático] a, b, c [/ matemático] representan las relaciones de dirección de la normal al plano.

La ecuación de una línea que pasa por un punto A (x ‘, y’, z ‘) es [matemática] \ displaystyle [/ matemática] [matemática] \ frac {xx’} {a ‘} = \ frac {aa’} {b ‘} [/ math] [math] = \ frac {zz’} {c ‘} [/ math] donde [math] a’, b ‘, c’ [/ math] representan las relaciones de dirección de la línea (o un vector) paralelo a él, que es básicamente las relaciones de dirección de nuestra línea [matemáticas] \ porque [/ matemáticas] las relaciones de dirección de líneas paralelas son iguales

Para demostrar que una línea es paralela a un plano, bastará con demostrar que lo normal al plano es perpendicular a la línea

Cuando dos líneas son perpendiculares, la suma de los productos de sus relaciones de dirección es 0

[matemáticas] \ implica [/ matemáticas] [matemáticas] aa ‘+ bb’ + cc ‘= 0 [/ matemáticas]

Fácil 😉

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Answer 2

Para probar que una línea es paralela a un plano, es suficiente probar que la línea dada es paralela a ALGUNAS líneas contenidas en ese plano. Estoy seguro de que esto está en algún libro de geometría en alguna parte …? Veamos … por ejemplo, la sección D aquí: Geometría, Plano, Sólido y Esférico, en Seis Libros

Ejemplo práctico: dentro de su casa, mire su puerta rectangular más cercana. La parte superior del marco de la puerta es paralela al piso. Puede probar que es así porque la parte superior del marco de la puerta es paralela al umbral de la puerta (por ejemplo, el pequeño marcador que separa 2 habitaciones alfombradas) y ese umbral está completamente contenido en el plano del piso.

Answer 3

La mayoría de los estudiantes de Pre-Algebra aprenden que las líneas paralelas “nunca se cruzan”. Esta definición es incompleta, ya que las líneas que no se cruzan pueden ser no paralelas si están sesgadas.

Imagina una caja. La línea horizontal inferior frontal es paralela a la línea horizontal superior frontal, además de las líneas horizontales superior e inferior posterior. La línea horizontal inferior frontal está sesgada hacia la línea vertical posterior derecha.

El frente de la caja y la parte posterior de la caja son planos paralelos. Cualquier línea dibujada en el frente será paralela al plano posterior.

Para las matemáticas, verifique el ejemplo de Dave (si la línea es perpendicular al vector normal). Es muy conciso y correcto.

Answer 4

Como esto fue publicado en la sección de Geometría Algebraica, asumiré, bien o mal, que las ecuaciones deberían estar involucradas. Una ecuación adecuada de una línea puede ser paramétrica, así que déjalo ser

[matemáticas] x = a + \ alpha t, \, y = b + \ beta t, \, z = c + \ chi t [/ matemáticas]

y, que la ecuación del plano sea [matemática] Ax + By + Cz = D [/ matemática].

Si la línea es paralela al plano, no se intersecarán. Eso nos lleva a tratar de encontrar ese punto de intersección que no existe. Así que sustituye y escribe

[matemáticas] A \ left ({a + \ alpha t} \ right) + B \ left ({b + \ beta t} \ right) + C \ left ({c + \ chi t} \ right) = D [ /matemáticas].

Haciendo lo habitual, recoge los términos,

[matemáticas] \ left ({A \ alpha + B \ beta + C \ chi} \ right) t = D – Aa – Bb – Cc [/ math].

Finalmente la t que nos da el punto de no intersección:

[matemáticas] t = \ dfrac {{D – Aa – Bb – Cc}} {{A \ alpha + B \ beta + C \ chi}} [/ matemáticas].

PERO, si no hay intersección, no debemos ser capaces de encontrar para encontrar este valor de t. Entonces algo debe salir mal. Hay dos fuentes principales de cosas que salen mal al resolver ecuaciones: raíz cuadrada de números negativos y división entre 0. En este caso, insistimos en que hayamos dividido entre 0.

Por lo tanto, si [matemáticas] A \ alpha + B \ beta + C \ chi = 0 [/ matemáticas], entonces la línea es algo así como paralela al plano. Si [matemática] D – Aa – Bb – Cc \ ne 0 [/ matemática], la línea es paralela al plano. Si [matemática] D – Aa – Bb – Cc = 0 [/ matemática], la línea está en el plano.

Answer 5

Imagina dos planos paralelos. Cualquier línea que forme parte de uno de los planos es una línea paralela al otro plano.

Cada plano se compone de un número infinito de líneas que van en diferentes direcciones y en diferentes ubicaciones. Cada línea en un plano dado está definida por dos puntos arbitrarios dentro de ese plano.

Imagine un espacio tridimensional con un eje X, Y y Z. X = 2 es un plano. X = 1 es un plano paralelo una unidad a la izquierda. Los puntos (2, 1, 1) y (2, 1, 2) son puntos en el primer plano.

• En este ejemplo, el eje X es perpendicular a ambos planos, como lo es cualquier línea paralela al eje X.
• Por lo tanto, cualquier línea que sea perpendicular al eje X, o perpendicular a cualquier línea que sea paralela al eje X, también será una línea paralela a ambos planos.

¿Te gustaría imaginar CADA línea posible que sea paralela a un plano dado?

1. Primero, define el plano.
2. Segundo, encuentre la línea perpendicular a ese plano.
3. Cuarto, imagina cada plano perpendicular a esa línea.
4. Tercero, imagine una estrella con un número infinito de puntos que se extienden infinitamente. Ese es el conjunto de todas las líneas que pasan por un punto dentro de un plano. Si tomas esas estrellas de líneas en cada punto de una línea infinita entera, entonces te has imaginado cada línea posible dentro de un plano entero.
5. Cuarto, imagine extender esa estrella a lo largo de una línea completa de puntos dentro de cada plano imaginado en el paso 2. Este es el conjunto de todas las líneas posibles que son paralelas a su plano arbitrario inicial.
6. Finalmente, imagina a todas las personas, viviendo la vida en paz.

Answer 6

Si una línea es paralela a un plano, será perpendicular al vector normal del plano (al igual que cualquier otra línea contenida dentro del plano, o paralela al plano).

(Tenga en cuenta que estoy usando “perpendicular” aquí, no en el sentido de que se cruzan, necesariamente, sino en el sentido de que sus vectores estarían a 90 grados si se colocan uno al lado del otro)

Para encontrar si dos vectores son perpendiculares, simplemente tome su producto escalar. Si es igual a 0, entonces son perpendiculares.

Entonces, por ejemplo, si tenemos el plano: 2x + 3y – 4z = 7 (el vector normal aquí sería <2,3, -4>)

Y queremos saber si la línea: x = 2 + t, y = 3–2t, z = 5-t, es paralela a ella, solo necesitamos el producto de puntos del vector de la línea (<1, -2, -1>) y el vector normal del avión.

<1, -2, -1> PUNTO <2, 3, -4> = 1 * 2 + -2 * 3 + -1 * -4 = 2 – 6 + 4 = 0

Entonces, en este caso, la línea y el plano son paralelos.

Si queremos usar el mismo plano, pero compararlo con la línea: x = 4 + 2t, y = 3 + 6t, z = 5 + 9t, obtendremos:

<2, 6, 9> PUNTO <2, 3, -4> = 2 * 2 + 6 * 3 + 9 * -4 = 4 + 18 – 36 = -14

Entonces podemos ver que estos dos no serán paralelos.

Answer 7

Dibuja una línea que interseque el plano y la línea.

Verifique si los ángulos correspondientes formados por la línea de intersección con la línea y el plano dados son iguales o no.

Si es así, entonces sí, la línea es paralela al plano, según el teorema de los ángulos correspondientes. De lo contrario, la línea y el plano no son paralelos.