¿Cuál es la distancia promedio entre dos puntos aleatorios en un círculo?

Answer 1

Entonces, creo que estas son integrales que se prestan al siempre amigable Monte Carlo.

Gracias Arquímedes, tu idea fue realmente increíble.

Inicializar: defina un círculo, de radio 1 para que sea conveniente.

Deje repeticiones = algún número enorme; replicación actual = 0

Mientras actualreplication <repeticiones:

1. Muestra dos puntos al azar en el círculo.
1. Nota: ¡No trivial! Muestrear dos números aleatorios dentro de restricciones uniformes en x e y no hace bien la tarea, se centrará en el radio.
1. En cambio, muestree uno para la distancia entre (O, R) y otro para la cantidad de rotación [para un punto a la vez].
2. Calcular la distancia entre los dos puntos (supongo que Euclidiana)
3. Almacene la distancia; entonces currentreplication = currentreplication + 1

Calcule la media del vector almacenado.

nota: Más repeticiones = mejores resultados.

Teóricamente, suponga que tiene ambos vectores de puntos aleatorios. Si baraja aleatoriamente uno [o ambos], y calcula la media, y realiza ambos pasos muchas veces, en realidad debería obtener una distribución confiable para esta distancia, así como la estimación puntual [esto, por supuesto, conduce a una desviación estándar o una noción de varianza]. ¡Asegúrese de que el número de repeticiones sea suficiente! Permutación Monte Carlo también puede ser divertido.

¿Qué sucede cuando cambia el radio? [además de necesitar más puntos] Bueno, solo varíe R y use la regresión para descubrir la relación entre la media de sus muestras y el radio.

Esto tiende a ser controvertido, así que … lamento que te sientas así.

Gran pregunta!

Answer 2

¿Cuál es la distancia promedio entre dos puntos aleatorios en un círculo?

Como señala el comentario de Barry Carter [ahora eliminado], este resultado es ciertamente conocido (me sorprende que no se haya preguntado antes sobre Quora, o al menos no figura entre las “preguntas relacionadas” para esta pregunta).

He dado un desarrollo parcial a continuación, pero puede encontrar una respuesta mucho más detallada (y general) en este documento . La respuesta corta es: para un círculo de radio 1, la distancia promedio es [matemática] \ frac {128} {45 \ pi} [/ matemática].

---

Suponiendo que los “puntos aleatorios en un círculo” se eligen de manera uniforme en todo el círculo, y suponiendo que el círculo tiene radio 1, las coordenadas [matemáticas] (X, Y) [/ matemáticas] de dicho punto tienen densidad [matemáticas] f ( x, y) = \ frac {1} {\ pi} [/ math] para [math] x ^ 2 + y ^ 2 <1 [/ math]. Alternativamente, podemos identificar el punto por sus coordenadas polares [matemáticas] (R, \ Theta) [/ matemáticas], en cuyo caso [matemáticas] R [/ matemáticas] y [matemáticas] \ Theta [/ matemáticas] son ​​independientes, con densidades respectivas [matemáticas] f (r) = 2r [/ matemáticas] para [matemáticas] 0

Si usamos coordenadas rectangulares, necesitamos una integral cuádruple (porque hay cuatro variables); si usamos coordenadas polares, podemos notar que [math] m \ angle AOB = \ Phi = | \ Theta_a- \ Theta_b | [/ math] puede tratarse como si estuviera distribuido uniformemente en [math] [0, \ pi ][/matemáticas]. ([math] \ Theta_a- \ Theta_b [/ math] tiene una densidad triangular en [math] [- 2 \ pi, 2 \ pi] [/ math], pero solo debemos preocuparnos por el coseno de este ángulo). Entonces, el valor promedio de la distancia es [matemáticas] \\\ displaystyle \ qquad \ frac {4} {\ pi} \ int_ {r_a = 0} ^ 1 \ int_ {r_b = 0} ^ 1 \ int _ {\ phi = 0} ^ \ pi r_a r_b \ sqrt {r_a ^ 2 + r_b ^ 2–2r_ar_b \ cos \ phi} \, d \ phi \, dr_b \, dr_a [/ math]

[editado para corregir la integral final; Había olvidado multiplicar por [matemáticas] f (r_a) f (r_b) h (\ phi) [/ matemáticas].]

Answer 3

Supongo que te refieres a círculo como el conjunto de puntos equidistantes de un centro fijo en lugar del conjunto de puntos contenidos por un círculo. De todos modos:

Definamos un círculo de radio r centrado en (0, 0) en el plano cartesiano.

Sin pérdida de generalidad, fijamos un punto en (r, 0). Deseamos integrar las distancias entre los puntos con respecto a la medida del arco menor definido por (r, 0) y el punto secundario, que llamaremos [math] \ theta [/ math], de 0 a pi radianes y dividir por pi radianes. Tenga en cuenta que la coordenada x de un punto en un círculo dado [matemática] \ theta [/ matemática] está dada por [matemática] x = r \ cos \ theta [/ matemática] y la coordenada y es [matemática] y = r \ sin \ theta [/ math]. Además, tenga en cuenta que la distancia entre dos puntos viene dada por [math] d = \ sqrt {(x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2} [/ math]. Conectando cosas, nuestra expresión es así:

[matemáticas] \ frac {{} \ int_ {0} ^ {\ pi} \ sqrt {(r \ cos \ theta-r) ^ 2 + (r \ sin \ theta) ^ 2} d \ theta} {\ pi }[/matemáticas].

WolframAlpha devuelve [math] \ frac {4r} {\ pi} [/ math] para el valor de esta expresión.

Editar: por simetría, no es necesario integrar la “mitad inferior” del círculo.