Digamos que tenemos un triángulo ABC, la línea a través de A e I (incentivo) se extiende para encontrar BC en D, ¿cómo demostramos que AI / ID = b + c / a?

Answer 1

DADO: Un triángulo ABC, AI, BI y CI son bisectrices de ángulo. Soy incentivo del triángulo. BC = a, AC = b, y AB = c

PARA PROBAR: AI / ID = (b + c) / a

PRUEBA: Al aplicar el teorema de la bisectriz de ángulo: que establece que: la bisectriz de ángulo de cualquier ángulo de un triángulo, biseca el lado opuesto en la misma proporción, que el de los otros 2 lados del triángulo.

Entonces, en el triángulo ABD,

BI biseca el ángulo B (dado)

=> c / BD = AI / ID (por teorema de la bisectriz de ángulo) ………………… .. (1)

Ahora, en el triángulo ACD,

CI biseca el ángulo C (dado)

=> b / DC = AI / ID (según el teorema anterior) ………………… .. (2)

Por (1) y (2)

c / BD = b / DC

=> DC / BD = b / c

=> (DC + BD) / BD = (b + c) / c (agregando 1 a ambos lados o por ley de proporción)

=> a / BD = (b + c) / c

=> c / BD = (b + c) / a

Pero c / BD = AI / ID (por (1))

Por lo tanto, AI / ID = (b + c) / a

[Por lo tanto probado]

Answer 2

Prerrequisito :

• El teorema de la bisectriz de ángulo (visite el enlace para obtener pruebas)

Cuando lo anterior se aplica a los ángulos en el triángulo ABC, la pregunta se puede resolver cómodamente:

Para el ángulo [matemática] C [/ matemática], [matemática] \ dfrac {AC} {CD} = \ dfrac {AI} {ID} [/ matemática]

o [matemáticas] \ dfrac {AI} {ID} [/ matemáticas] = [matemáticas] \ dfrac {b} {CD} [/ matemáticas]

Deje [math] \ dfrac {AI} {ID} [/ math] = [math] x [/ math].

Entonces, tenemos [matemáticas] x [/ matemáticas] = [matemáticas] \ dfrac {b} {CD} [/ matemáticas]

o [math] CD [/ math] = [math] \ dfrac {b} {x} [/ math] ………… 1

Para el ángulo [matemática] B [/ matemática], [matemática] \ dfrac {AI} {ID} [/ matemática] = [matemática] \ dfrac {AB} {BD} [/ matemática] = [matemática] \ dfrac {c } {BD} [/ matemáticas]

o [matemáticas] x [/ matemáticas] = [matemáticas] \ dfrac {c} {BD} [/ matemáticas]

o [matemáticas] BD [/ matemáticas] = [matemáticas] \ dfrac {c} {x} [/ matemáticas] …………. 2

Pero, [matemáticas] CD + BD [/ matemáticas] = [matemáticas] a [/ matemáticas] ………. 3

Ahora, usando 1, 2 y 3, obtenemos

[matemática] \ dfrac {b} {x} [/ matemática] + [matemática] \ dfrac {c} {x} [/ matemática] = [matemática] a [/ matemática]

o [matemáticas] \ dfrac {b + c} {x} [/ matemáticas] = [matemáticas] a [/ matemáticas]

o [matemáticas] x [/ matemáticas] = [matemáticas] \ dfrac {b + c} {a} [/ matemáticas]

Por lo tanto, demostrado

Answer 3

Por el teorema de la bisectriz angular en Tr. ABC, BD / DC = c / b o BD / (BD + DC) = c / (c + b) o BD / a = c / (b + c) o BD = ac / (b + c). Tenga en cuenta que BI es la bisectriz angular en Tr. ABD de donde AI / ID = c / BD o AI / ID = c / [ac / (b + c)] = (b + c) / a.