El espacio euclidiano es del tipo con el que estás familiarizado. Se le pueden dar coordenadas donde cada punto tiene tres coordenadas [matemática] (x, y, z) [/ matemática] donde [matemática] x, y, [/ matemática] y [matemática] z [/ matemática] son números reales. Hay muchas buenas propiedades geométricas que se derivan de esta coordinación. Por ejemplo, la distancia entre dos puntos [matemática] (x_1, y_1, z_1) [/ matemática] y [matemática] (x_2, y_2, z_2) [/ matemática] es [matemática] \ sqrt {(x_2-x_1) ^ 2+ (y_2-y_1) ^ 2 + (z_2-z_1) ^ 2} [/ math] que se desprende del teorema de Pitágoras. Además, el plano en el espacio euclidiano está dado por una ecuación lineal [matemática] Ax + By + Cz = D [/ matemática] donde [matemática] A, B, C, [/ matemática] y [matemática] D [/ matemática] son constantes
Dada cualquier línea en el espacio euclidiano y el punto que no esté en esa línea, hay una línea única paralela a la línea dada que pasa por el punto dado.
En el espacio hiperbólico, esa última afirmación no es cierta. Dada una línea y un punto en el espacio, hay infinitas líneas paralelas a la línea que pasa por el punto dado, todas las cuales se encuentran en el plano determinado por la línea y el punto dados.
No puede dar los puntos en coordenadas de espacio hiperbólico tan fácilmente como puede hacerlo en el espacio euclidiano. Hay formas de especificar coordenadas, pero las matemáticas necesarias son mucho más complejas.
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Algunas otras diferencias
La suma del ángulo interno de un triángulo en el espacio euclidiano es exactamente 180 °. En el espacio hiperbólico siempre es inferior a 180 °.
Dos líneas paralelas en el espacio euclidiano están separadas por la misma distancia a lo largo de ellas. En el espacio hiperbólico, dos líneas paralelas se separan arbitrariamente.
Los triángulos pueden tener áreas arbitrariamente grandes en el espacio euclidiano. En el espacio hiperbólico, los triángulos no pueden tener áreas arbitrariamente grandes.
Los únicos polígonos regulares que recubren un plano euclidiano son cuadrados, triángulos equiláteros y hexágonos regulares. Puede colocar un plano hiperbólico con polígonos regulares con cualquier número de lados.