2 vértices de un triángulo son (1,2) y (3,5). El ortocentro se encuentra en la línea x + y = 2. El locus del tercer vértice es?

Answer 1

Sean B = (a, b) y C = (c, d) los vértices dados del triángulo.

Sea O (h, 2-h) el centro orto.

pendiente de BO = [matemáticas] \ frac {2-hb} {ha} [/ matemáticas]

Deje que BO extendido se encuentre con AC en M.

pendiente de CM = [matemáticas] – \ frac {ha} {2-hb} [/ matemáticas]

Entonces la ecuación de CM es [matemática] yd = – \ frac {ha} {2-hb} (xc) [/ matemática]

Esto se puede simplificar a la forma

[matemáticas] h (xcyd) = a (xc) – (2-b) (yd)… .. (1) [/ matemáticas]

Sustituyendo a = 1 b = 2 c = 3 yd = 5 obtenemos

[matemáticas] h (x-y + 2) = x-3 ………………………… (2) [/ matemáticas]

podemos obtener la ecuación de BA simplemente intercambiando las coordenadas de B y C

Ponga a = 3 b = 5 c = 1 d = 2 obtenemos

[matemáticas] h (x-y + 1) = 3x + 3y-9 ……………… (3) [/ matemáticas]

dividiendo (2) por (3) eliminamos h.

[matemáticas] \ frac {xy = 2} {x-y + 1} = \ frac {x-3} {3x + 3y-9} …… .. (4) [/ matemáticas]

simplificando (4) obtenemos

[matemáticas] \ en caja {2 x ^ 2 + xy – 3y ^ 2-x + 12y-15 = 0} [/ matemáticas] que es el lugar geométrico de A.

Answer 2

Sabemos que el ortocentro es la intersección de altitudes. Al asumir un tercer vértice general, podemos resolver cualquier [matemática] 2 [/ matemática] de las altitudes (es decir, obtener ecuaciones de las líneas rectas) y usar la restricción dada (su intersección se encuentra en [matemática] x + y = 2 [/ matemáticas]). Esta es la idea principal.

Deje que el tercer vértice sea C [matemáticas] (a, b) [/ matemáticas]

Desde el punto C al lado conocido, digamos AB, podemos obtener la altitud como:

[matemáticas] y = – \ dfrac {2x} {3} + b + \ dfrac {2a} {3} [/ matemáticas]

Arriba está la ecuación de una línea perpendicular al AB y que pasa por C. De manera similar, podemos encontrar la ecuación de altitud que pasa por B [matemáticas] (3,5) [/ matemáticas] y perpendicular a AC, como

[matemáticas] y = – \ dfrac {(a-1) x} {b-2} + 5 + \ dfrac {3 (a-1)} {b-2} [/ matemáticas]

Ahora, en lugar de resolver para x e y de las 2 ecuaciones anteriores y luego aplicar [matemática] x + y = 2 [/ matemática], podemos aplicar la restricción antes de sí mismo por conveniencia.

de [matemáticas] 1 [/ matemáticas] st, [matemáticas] 2-x = – \ dfrac {2x} {3} + b + \ dfrac {2a} {3} [/ matemáticas]

de [matemáticas] 2 [/ matemáticas] nd, [matemáticas] 2-x = – \ dfrac {(a-1) x} {b-2} + 5 + \ dfrac {3 (a-1)} {b- 2} [/ matemáticas]

Ahora, si eliminamos [matemáticas] x [/ matemáticas] de las ecuaciones [matemáticas] 2 [/ matemáticas] anteriores, obtenemos una relación entre [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas]. Pero, dado que comenzamos asumiendo un escenario general, ahora podemos reemplazarlos con [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas], para obtener el lugar requerido. Resulta lo siguiente:

[matemáticas] \ dfrac {3 (x + y-3)} {x-y + 1} = 6 -2a -3b [/ matemáticas]

o, [matemáticas] 2x ^ 2 + xy – 3y ^ 2 + 12y – x -15 = 0 [/ matemáticas]

Esto es en realidad una hipérbola.

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( Por favor notifíqueme si hay errores )