La idea del promedio, o media aritmética, es sumar algunos números y dividir entre cuántos tiene:
[matemáticas] \ displaystyle \ bar {x} = \ frac 1 N \ sum_ {i = 1} ^ {N} x_i [/ matemáticas]
Aquí tenemos [math] N [/ math] números [math] x_1, x_2,…, x_N [/ math], y llamamos al promedio [math] \ bar {x} [/ math].
Es posible que tenga puntos que ya sabe que el promedio es alrededor de cero, y desea tener una idea de cuán lejos de cero está el punto promedio. La inspiración que tiene es que si cuadra las [matemáticas] x [/ matemáticas] siempre obtendrá un número positivo. Luego puede promediar los cuadrados, para obtener un valor cuadrado típico, y luego tomar una raíz cuadrada para volver a convertir a las unidades originales, no cuadradas.
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[matemáticas] \ displaystyle a = \ sqrt {\ frac 1 N \ sum_ {i = 1} ^ {N} x_i ^ 2} [/ matemáticas]
No hay nada especial sobre el exponente [matemática] 2 [/ matemática] y su inverso, la raíz cuadrada, excepto que cuando cuadras siempre obtienes un número positivo. Si supieras que tus [matemáticas] x [/ matemáticas] siempre fueron positivas, o usaste [matemáticas] | x_i | [/ matemáticas] en lugar de [matemáticas] x_i [/ matemáticas], podrías elevar eso a cualquier poder y estar seguro El resultado fue positivo. Así que supongamos de aquí en adelante [matemática] x_i> 0 [/ matemática].
Ahora podemos definir una media generalizada, donde la potencia [matemática] p [/ matemática] es un parámetro:
[matemáticas] \ displaystyle a_p = \ left (\ frac 1 N \ sum_ {i = 1} ^ {N} x_i ^ p \ right) ^ {\ frac 1 p} [/ math]
Cuando [math] p = 1 [/ math], [math] a_1 [/ math] es nuestra idea normal del promedio. Cuando [math] p = 2 [/ math] tenemos [math] a_2 [/ math] es el caso RMS (raíz cuadrática media) que acabamos de discutir. Pero podemos considerar otros valores de [math] p. [/ Math] En particular, podemos considerar los límites como [math] p \ to \ infty [/ math], [math] p \ to – \ infty [/ math ] y [matemáticas] p \ a 0 [/ matemáticas].
Una objeción al uso del promedio de los cuadrados es que da un peso indebido a los valores grandes, cuyos cuadrados serán aún más exagerados. Esto es especialmente problemático cuando estos valores atípicos grandes son errores de datos, que luego dominan el resultado. Por lo tanto, existe una motivación para usar exponentes menores que 2 para que los valores atípicos no dominen.
Pero primero consideramos el extremo donde [math] p \ to \ infty [/ math]. A medida que los exponentes se hacen más y más grandes, solo la [matemática] x_i [/ matemática] más grande importará en la suma y, por lo tanto, en el resultado. En otras palabras
[matemáticas] \ displaystyle a_ \ infty = \ max_i x_i [/ matemáticas]
El límite de potencia infinita solo elige el máximo [math] x_i [/ math] de la entrada. Por una lógica similar, el límite de potencia negativo infinito se evalúa al mínimo [math] x_i [/ math].
¿Qué pasa con [matemáticas] p = 0 [/ matemáticas]? Podemos sumar algunos, no hay problema, pero tenemos problemas cuando intentamos sacar la raíz cero. Necesitamos abordar esto como un límite:
[matemáticas] \ displaystyle a_0 = \ lim_ {p \ a 0} \ left (\ frac 1 N \ sum_ {i = 1} ^ {N} x_i ^ p \ right) ^ {\ frac 1 p} [/ math]
Podemos manejar esto tratando de encontrar su logaritmo, [math] \ lim_ {p \ to 0} \ ln a_p. [/ Math]
[matemáticas] \ displaystyle \ ln a_0 = \ lim_ {p \ to 0} \ ln {\ left (\ frac 1 N \ sum_ {i = 1} ^ {N} x_i ^ p \ right) ^ {\ frac 1 p }} = \ lim_ {p \ to 0} \ frac 1 p \ ln \ left (\ frac 1 N \ sum_ {i = 1} ^ {N} x_i ^ p \ right) [/ math]
Cuando [math] p = 0 [/ math], obtenemos [math] \ dfrac {\ ln {\ frac 1 N \ sum 1}} {0} = \ dfrac {\ ln 1} {0} = \ dfrac 0 0 [/ math] así que esta es una de esas ocasiones felices donde podemos aplicar la regla de L’Hopital. Necesitamos tomar la derivada del numerador y el denominador con respecto a [math] p [/ math]. El denominador es fácil, es solo [math] p [/ math], por lo que su derivada es [math] 1 [/ math].
Para el numerador es más fácil si escribe [matemáticas] x_i ^ p = (e ^ {\ ln x_i}) ^ p = e ^ {p \ ln x_i}. [/ Matemáticas] Entonces necesitamos la derivada de algo de la forma [math] \ ln (\ sum e ^ {p \ ln x_i}). [/ math] Dado que [math] d \ ln y / dy = 1 / y [/ math], por la regla de la cadena obtendremos el recíproco de la suma multiplicado por la derivada de la suma.
[matemáticas] \ displaystyle \ ln a_0 = \ lim_ {p \ to 0} \ frac {1} {1} \ left (\ dfrac {1} {\ frac 1 N \ sum_ {i = 1} ^ {N} e ^ {p \ ln x_i}} \ right) {\ frac 1 N \ sum_ {i = 1} ^ {N} e ^ {p \ ln x_i} \ ln x_i} [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = \ dfrac {1} {\ frac 1 N \ sum_ {i = 1} ^ {N} 1} {\ frac 1 N \ sum_ {i = 1} ^ {N} \ ln x_i} [ /matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle = \ frac 1 N \ ln \ left (\ prod_ {i = 1} ^ {N} x_i \ right) [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = \ ln \ left ((\ prod_ {i = 1} ^ {N} x_i) ^ {\ frac 1 N} \ right) [/ math]
O, finalmente, exponiendo ambos lados,
[matemáticas] \ displaystyle a_0 = \ left (\ prod_ {i = 1} ^ {N} x_i \ right) ^ {\ frac 1 N} [/ math]
Vemos aquí que [math] a_0 [/ math] es la media geométrica de [math] x_i [/ math]. Esto es lo que se quiere decir cuando se dice que la media generalizada de potencia 0 es la media geométrica.